Um cilindro de alumínio ( \mathrm{k}=175 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ), com 100 mm de diâmetro interno, 15 m de comprimento e 4 mm de espessura, é utilizado para transportar produto químico à 160^{\circ} \mathrm{C} a velocidade de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Com o intuito de minimizar a perda de calor, pelo produto, uma camada de 25 mm de espessura de isolante ( \mathrm{k}=0,38 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ) é colocado na parte externa da tubulação, e uma camada de 2 mm de tinta refletiva ( \mathrm{K}=3,4 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ) foi aplicado sobre o isolante. Sabendo o ar do compartimento está a 20^{\circ} \mathrm{C} e que uma brisa de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} cruza a tubulação, determine qual a taxa de transferência de calor.
\begin{aligned} & \text { Dados: } v_{\text {ar } 20^{\circ} \mathrm{C}}=1,15 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, \mathrm{k}_{\text {ar } \_20^{\circ} \mathrm{C}}=0,027 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} \sigma=5,6697 \times 10^{-8} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}^{4}, \\ & \varepsilon_{\text {tinta }}=0,8, \operatorname{Pr}_{20^{\circ} \mathrm{C}}=0,718 ; \operatorname{Pr}_{\text {produto químico } 160^{\circ} \mathrm{C}}=0,78 ; \delta_{\text {produto químico } 160^{\circ} \mathrm{C}}=1,46 ; \\ & \mu_{\text {produto químico } 160^{\circ} \mathrm{C}}=0,024 \mathrm{Ns} / \mathrm{m}^{2} ; \mathrm{k}_{\text {produto químico } 160^{\circ} \mathrm{C}}=0,34 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ; \rho_{\text {água }}=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} \end{aligned}ííííá

Passo 1

Temos uma tubulação cilíndrica de alumínio (condutividade térmica \mathrm{k}_{\text{Al}}=175\\ \mathrm{W/mK}), diâmetro interno D_i=0,100\\ \mathrm{m}, comprimento L=15\\ \mathrm{m} e espessura da parede de 4\\ \mathrm{mm}. Pelo interior circula um produto químico a 160^\circ\mathrm{C} com velocidade v=2\\ \mathrm{m/s}. Do lado de fora temos, em sequência, uma camada de isolante de espessura 25\\ \mathrm{mm} ( \mathrm{k}_{\text{ins}}=0,38\\ \mathrm{W/mK}) e uma tinta refletiva de espessura 2\\ \mathrm{mm} ( \mathrm{k}_{\text{tinta}}=3,4\\ \mathrm{W/mK}, \varepsilon=0,8). O ar ambiente está a 20^\circ\mathrm{C} e passa em escoamento cruzado com v_{\text{ar}}=1\\ \mathrm{m/s}. Queremos a taxa de calor Q no regime permanente, usando o conceito de resistências térmicas em série: convecção interna, condução pelos três materiais e as convecções (convectiva + radiativa) externas.

Passo 2

Calcular o coeficiente de convecção interna h_i. Primeiro o número de Reynolds no interior:
\mathrm{Re}_i=\frac{\rho\,v\,D_i}{\mu} =\frac{1{,}46\;\mathrm{kg/m^3}\times2\;\mathrm{m/s}\times0{,}1\;\mathrm{m}}{0{,}024\;\mathrm{Pa\,s}} \approx12{,}2\quad(\text{escoamento totalmente laminar}).
Em fluxo laminar totalmente desenvolvido com parede a temperatura constante, toma-se \mathrm{Nu}=3{,}66. Logo
h_i=\frac{\mathrm{Nu}\;k_{\text{produto}}}{D_i} =\frac{3{,}66\times0{,}34}{0{,}10} \approx12{,}4\\ \mathrm{W/(m^2K)}.

Passo 3

Calcular o coeficiente efetivo externo h_o=h_{\mathrm{conv}}+h_{\mathrm{rad}}. O diâmetro externo total é
D_o =D_i+2\,(0{,}004+0{,}025+0{,}002) =0{,}162\\ \mathrm{m}.
Número de Reynolds no ar:
\mathrm{Re}_o =\frac{v_{\mathrm{ar}}\,D_o}{\nu_{\mathrm{ar}}} =\frac{1{,}0\times0{,}162}{1{,}15\times10^{-5}} \approx1{,}41\times10^{4}.
Para escoamento cruzado de cilindro, usa-se
\mathrm{Nu}_o =0{,}911\,\mathrm{Re}_o^{0{,}385}\,\mathrm{Pr}_{\mathrm{ar}}^{0{,}36} \approx31{,}96,
h_{\mathrm{conv}} =\frac{\mathrm{Nu}_o\,k_{\mathrm{ar}}}{D_o} =\frac{31{,}96\times0{,}027}{0{,}162} \approx5{,}33\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
Para a radiação, aproximamos a temperatura da superfície em T_s\approx100^\circ\mathrm{C}=373\\ \mathrm{K} e T_\infty=293\\ \mathrm{K}. Então
h_{\mathrm{rad}} =\varepsilon\,\sigma\,(T_s^2+T_\infty^2)\,(T_s+T_\infty) \approx0{,}8\times5{,}6697\times10^{-8}\times(373^2+293^2)\times(373+293) \approx8{,}5\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
Portanto
h_o \approx5{,}33+8{,}5 =13{,}83\\ \mathrm{W/(m^2K)}.

Passo 4

Montamos as resistências térmicas em série por metro de comprimento e depois multiplicamos por L=15\\ \mathrm{m}.
Convecção interna:
R_i=\frac{1}{h_i\,\pi D_i L} =\frac{1}{12{,}4\,\pi\,0{,}10\times15} \approx0{,}0171\\ \mathrm{K/W}.
Condução no alumínio (raios r_i=0{,}05\\ \mathrm{m} e r_a=0{,}05+0{,}004):
R_{\mathrm{Al}} =\frac{\ln(r_a/r_i)}{2\pi\,k_{\mathrm{Al}}\,L} \approx4{,}7\times10^{-6}\\ \mathrm{K/W}.
Condução no isolante ( r_a=0{,}054 e r_b=0{,}054+0{,}025):
R_{\mathrm{ins}} =\frac{\ln(r_b/r_a)}{2\pi\,k_{\mathrm{ins}}\,L} \approx0{,}0106\\ \mathrm{K/W}.
Condução na tinta ( r_b=0{,}079 e r_c=0{,}081):
R_{\mathrm{tinta}} =\frac{\ln(r_c/r_b)}{2\pi\,k_{\mathrm{tinta}}\,L} \approx7{,}8\times10^{-5}\\ \mathrm{K/W}.
Convecção + radiação externas:
R_o=\frac{1}{h_o\,\pi D_o L} =\frac{1}{13{,}83\,\pi\,0{,}162\times15} \approx0{,}00945\\ \mathrm{K/W}.
Somando tudo:
R_{\mathrm{total}} \approx0{,}0171+0{,}000005+0{,}0106+0{,}000078+0{,}00945 \approx0{,}0372\\ \mathrm{K/W}.

Passo 5

A diferença de temperatura é \Delta T=160-20=140\\ \mathrm{K}. Logo a taxa de calor é
Q=\frac{\Delta T}{R_{\mathrm{total}}} =\frac{140}{0{,}0372} \approx3{,}76\times10^{3}\\ \mathrm{W}.

Resposta

A taxa de transferência de calor é aproximadamente 3{,}8\\ \mathrm{kW}.

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