Um tanque de aço ( \mathrm{k}=40 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ), de formato esférico e raio interno de 0,5 \mathrm{~m} e espessura de 5 mm , é isolado com 1 \frac{1}{2} " de lã de rocha ( \mathrm{k}=0,04 \mathrm{Kcal} / h.m. { }^{\circ} \mathrm{C} ). A temperatura da face interna do tanque é 220^{\circ} \mathrm{C} e a da face externa do isolante é 30^{\circ} \mathrm{C}. Após alguns anos de utilização, a lã de rocha foi substituída por outro isolante, também de 1 \frac{1}{2} " de espessura, tendo sido notado então um aumento de 10 \% no calor perdido para o ambiente ( mantiveram-se as demais condições ). Determinar:
a) fluxo de calor pelo tanque isolado com lã de rocha; ( \mathbf{q = 6 8 8 , 4 ~ k c a l / h )}
b) o coeficiente de condutividade térmica do novo isolante; ( \mathbf{k i s}=\mathbf{0 , 0 4 4} \mathbf{~ k c a l} / \mathbf{h m C} )
c) qual deveria ser a espessura do novo isolante para que se tenha o mesmo fluxo de calor que era trocado com a lã de rocha. ( \mathbf{4 2 , 1 ~ m m} )

Passo 1

O enunciado descreve um tanque esférico de raio interno r_i = 0{,}5\,\mathrm{m} e espessura de aço de 0{,}005\,\mathrm{m} (condutividade k_s = 40\,\mathrm{kcal/(h\,m\,^\circ C)}), isolado por lã de rocha de espessura 1\frac12''=0{,}0381\,\mathrm{m} (condutividade k_r=0{,}04\,\mathrm{kcal/(h\,m\,^\circ C)}). A temperatura na face interna é 220^\circ\mathrm{C} e na externa do isolante é 30^\circ\mathrm{C}. Após substituir o isolante por outro de mesma espessura, o fluxo aumenta 10\%. Vamos usar condução radial em casca esférica em série para (a) calcular o fluxo original, (b) determinar a condutividade do novo isolante e (c) achar a espessura necessária deste novo isolante para retornar ao fluxo original.

Passo 2

Calcular as resistências térmicas em série. As três superfícies radiais são
r_i = 0{,}5,\quad r_e = r_i + 0{,}005 = 0{,}505,\quad r_o = r_e + 0{,}0381 = 0{,}5431\quad(\mathrm{m}).
A resistência de condução de uma casca esférica de r=a até r=b é
R = \frac{1}{4\pi k}\Bigl(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\Bigr).
Para o aço:
R_s = \frac{1}{4\pi\cdot 40}\Bigl(\frac{1}{0{,}5}-\frac{1}{0{,}505}\Bigr) = \frac{0{,}01980}{4\pi\cdot 40}\approx 3{,}94\times10^{-5}\,\mathrm{h\,^\circ C/kcal}.
Para a lã de rocha:
R_r = \frac{1}{4\pi\cdot 0{,}04}\Bigl(\frac{1}{0{,}505}-\frac{1}{0{,}5431}\Bigr) = \frac{0{,}1387}{4\pi\cdot 0{,}04}\approx 0{,}2759\,\mathrm{h\,^\circ C/kcal}.
Logo a resistência total é R_{\rm tot}=R_s+R_r\approx0{,}27594\,\mathrm{h\,^\circ C/kcal}.

Passo 3

O fluxo de calor original é
q = \frac{\Delta T}{R_{\rm tot}} \quad\text{com}\quad \Delta T = 220 - 30 = 190\,^\circ\mathrm{C}.
Substituindo,
q = \frac{190}{0{,}27594}\approx688{,}4\,\mathrm{kcal/h}.

Passo 4

Com o novo isolante de mesma espessura, o fluxo passa a ser q_n=1{,}1\,q. A resistência do aço não muda ( R_s igual), logo a resistência do novo isolante satisfaz
R_{\rm ins,new} = \frac{\Delta T}{q_n} - R_s =\frac{190}{1{,}1\cdot688{,}4}-3{,}94\times10^{-5}\approx0{,}25096.
Como
R_{\rm ins,new}=\frac{1}{4\pi\,k_{\rm new}}\Bigl(\frac{1}{0{,}505}-\frac{1}{0{,}5431}\Bigr) =\frac{0{,}1387}{4\pi\,k_{\rm new}},
temos
k_{\rm new}=\frac{0{,}1387}{4\pi\cdot0{,}25096}\approx0{,}044\,\mathrm{kcal/(h\,m\,^\circ C)}.

Passo 5

Para que o novo isolante (com k_{\rm new}=0{,}044) e espessura desconhecida \Delta r dê o mesmo fluxo q original, queremos
R_{\rm ins,req}=\frac{\Delta T}{q}-R_s =\frac{190}{688{,}4}-3{,}94\times10^{-5}\approx0{,}27596.
Definindo r_o' = r_e + \Delta r, deve valer
\frac{1}{4\pi\,k_{\rm new}}\Bigl(\frac{1}{r_e}-\frac{1}{r_o'}\Bigr)=0{,}27596 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{r_o'}=\frac{1}{0{,}505}-4\pi\cdot0{,}044\cdot0{,}27596\approx1{,}8277.
Assim r_o'\approx0{,}5471\,\mathrm{m} e
\Delta r = r_o' - r_e = 0{,}5471 - 0{,}505 = 0{,}0421\,\mathrm{m} \approx42{,}1\,\mathrm{mm}.

Resposta

(a) q=688{,}4\\ \mathrm{kcal/h}.
(b) k_{\rm new}\approx0{,}044\\ \mathrm{kcal/(h\,m\,^\circ C)}.
(c) Espessura \Delta r\approx0{,}0421\\ \mathrm{m}\;(42{,}1\,\mathrm{mm}).

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