Um tubo de aço com 5 cm de diâmetro interno e 7,6 \mathrm{~cm} de diâmetro externo, tendo \mathrm{K}=15 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}, está recoberto por uma camada isolante de espessura 2 cm e \mathrm{K}=0,2 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}. Um gás aquecido a \mathrm{T}_{\mathrm{a}}=330^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{h}_{\mathrm{a}} =400 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{20} \mathrm{C}, flui no interior do tubo. A superfície externa do isolamento está exposta ao ar frio a \mathrm{T}_{\mathrm{b}}= 330^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{h}_{\mathrm{b}}=60 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2 \circ} \mathrm{C}. (a) calcule a perda de calor do tubo para o ar, ao longo de 10 m de comprimento. (b) Calcule as quedas de temperaturas resultantes das resistências térmicas do gás quente, do tubo de aço, da camada isolante e do ar externo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Dados geométricos:
    \begin{aligned} &\text{diâmetro interno do tubo: } d_i = 5\\ \mathrm{cm} = 0{,}05\\ \mathrm{m},\\\ &\text{diâmetro externo do tubo (aço): } d_{s,o} = 7{,}6\\ \mathrm{cm} = 0{,}076\\ \mathrm{m},\\\ &\text{espessura do isolamento: } t_{\mathrm{ins}} = 2\\ \mathrm{cm} = 0{,}02\\ \mathrm{m},\\\ &\text{diâmetro externo do isolamento: } d_o = d_{s,o} + 2t_{\mathrm{ins}} = 0{,}076 + 0{,}04 = 0{,}116\\ \mathrm{m}. \end{aligned}ââçâ
  • Propriedades térmicas:
    \begin{aligned} &K_{\text{aço}} = 15\\ \mathrm{W/m\,^\circ C},\\\ &K_{\text{ins}} = 0{,}2\\ \mathrm{W/m\,^\circ C}. \end{aligned}ç
  • Convecções e temperaturas:
    \begin{aligned} &T_a = 330^\circ\mathrm{C}\quad(\text{gás interno}),\\\ &h_a = 400\\ \mathrm{W/m^2\,^\circ C}\quad(\text{convecção interna}),\\\ &h_b = 60\\ \mathrm{W/m^2\,^\circ C}\quad(\text{convecção externa}). \end{aligned}áçãçã
  • O enunciado apresenta uma possível contradição: ele repete T_b=330^\circ\mathrm{C} para o ar frio externo, o que tornaria perda de calor nula. Vou assumir que isto é um erro de digitação e que a temperatura do ar externo é T_b=30^\circ\mathrm{C} (valor comum em exercícios), portanto
    T_b = 30^\circ\mathrm{C}.
    Se você souber que era outro valor, a mesma resolução vale trocando T_b.
  • Comprimento do tubo pedido: L = 10\\ \mathrm{m}.
  • O que se pede:
    (a) Calcular a perda de calor do tubo para o ar ao longo de 10\\ \mathrm{m} (ou seja, a taxa de calor total Q em W).
    (b) Calcular as quedas de temperatura atribuídas a cada resistência térmica: gás interno (convecção interna), tubo de aço (condução radial), camada isolante (condução radial) e ar externo (convecção externa).

Passo 2

Plano de solução (sem fazer contas ainda): vamos modelar o caminho do calor do centro para fora como uma cadeia de resistências térmicas em série:
  • Resistência por convecção no interior: R_{\text{conv,i}} = \dfrac{1}{h_a A_i}, onde A_i é a área interna lateral do cilindro ( A_i = \pi d_i L).
  • Resistência por condução radial através do tubo cilíndrico de aço: para condução radial em casca cilíndrica usamos R_{\text{cond,cil}}=\dfrac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k L},onde r_1 e r_2 são raios interno e externo da casca.
  • Resistência por condução radial através da camada isolante, mesma fórmula com k=K_{\text{ins}}.
  • Resistência por convecção externa: R_{\text{conv,o}} = \dfrac{1}{h_b A_o}, onde A_o = \pi d_o L.
A taxa de calor total é dada por
Q = \dfrac{T_a-T_b}{R_{\text{total}}},
onde R_{\text{total}} = R_{\text{conv,i}} + R_{\text{cond,aço}} + R_{\text{cond,ins}} + R_{\text{conv,o}}ç.
Depois de encontrar Q (para L=10\\ \mathrm{m}), as quedas de temperatura em cada trecho são
\Delta T_j = Q\,R_j
para cada resistência R_j.

Passo 3

Converta diâmetros em raios (sempre use raios para resistências cilíndricas) e calcule áreas usadas nas convecções:
\begin{aligned} &r_i = \dfrac{d_i}{2} = \dfrac{0{,}05}{2} = 0{,}025\\ \mathrm{m},\\\ &r_{s,o} = \dfrac{d_{s,o}}{2} = \dfrac{0{,}076}{2} = 0{,}038\\ \mathrm{m},\\\ &r_o = r_{s,o} + t_{\mathrm{ins}} = 0{,}038 + 0{,}02 = 0{,}058\\ \mathrm{m}. \end{aligned}
Áreas laterais (para comprimento L):
\begin{aligned} &A_i = \pi d_i L = \pi (0{,}05) L,\\\ &A_o = \pi d_o L = \pi (0{,}116) L. \end{aligned}
Aqui vamos calcular as resistências já para o comprimento pedido L=10\\ \mathrm{m}, pois convecções dependem de L.

Passo 4

Calcule cada resistência térmica (em \mathrm{K/W}) para L=10\\ \mathrm{m}.
  1. Resistência por convecção interna (gás → parede interna):
R_{\text{conv,i}}=\dfrac{1}{h_a A_i}=\dfrac{1}{h_a \pi d_i L} =\dfrac{1}{400\cdot \pi\cdot 0{,}05\cdot 10}.
Calcule numericamente:
\pi\cdot 0{,}05\cdot 10 = \pi\cdot 0{,}5 = 1{,}570796327,
R_{\text{conv,i}}=\dfrac{1}{400\cdot 1{,}570796327}=\dfrac{1}{628{,}3185307}=0{,}00159155\\ \mathrm{K/W}.
  1. Resistência por condução no aço (casca cilíndrica entre r_i e r_{s,o}):
R_{\text{aço}}=\dfrac{\ln\left(\dfrac{r_{s,o}}{r_i}\right)}{2\pi K_{\text{aço}} L} =\dfrac{\ln\left(\dfrac{0{,}038}{0{,}025}\right)}{2\pi\cdot 15\cdot 10}.çç
Calcule:
\ln\left(\dfrac{0{,}038}{0{,}025}\right)=\ln(1{,}52)=0{,}418711,
2\pi\cdot 15\cdot 10 = 2\pi\cdot 150 = 942{,}4777961,
R_{\text{aço}}=\dfrac{0{,}418711}{942{,}4777961}=0{,}00044446\\ \mathrm{K/W}.ç
  1. Resistência por condução no isolamento (entre r_{s,o} e r_o):
R_{\text{ins}}=\dfrac{\ln\left(\dfrac{r_o}{r_{s,o}}\right)}{2\pi K_{\text{ins}} L} =\dfrac{\ln\left(\dfrac{0{,}058}{0{,}038}\right)}{2\pi\cdot 0{,}2\cdot 10}.
Calcule:
\ln\left(\dfrac{0{,}058}{0{,}038}\right)=\ln(1{,}52631579)=0{,}422853,
2\pi\cdot 0{,}2\cdot 10 = 2\pi\cdot 2 = 12{,}56637061,
R_{\text{ins}}=\dfrac{0{,}422853}{12{,}56637061}=0{,}0336538\\ \mathrm{K/W}.
  1. Resistência por convecção externa (superfície do isolamento → ar externo):
R_{\text{conv,o}}=\dfrac{1}{h_b A_o}=\dfrac{1}{h_b \pi d_o L} =\dfrac{1}{60\cdot \pi\cdot 0{,}116\cdot 10}.
Calcule:
\pi\cdot 0{,}116\cdot 10 = \pi\cdot 1{,}16 = 3{,}644242647,
R_{\text{conv,o}}=\dfrac{1}{60\cdot 3{,}644242647}=\dfrac{1}{218{,}6545588}=0{,}0045739\\ \mathrm{K/W}.

Passo 5

Some as resistências para obter a resistência térmica total:
\begin{aligned} R_{\text{total}} &= R_{\text{conv,i}} + R_{\text{aço}} + R_{\text{ins}} + R_{\text{conv,o}}\\[4pt] &= 0{,}00159155 + 0{,}00044446 + 0{,}0336538 + 0{,}0045739\\[4pt] &= 0{,}04026371\\ \mathrm{K/W}\\ (\text{aprox.}). \end{aligned}ç]

Passo 6

Calcule a perda de calor total ao longo de L=10\\ \mathrm{m} usando
Q = \dfrac{T_a-T_b}{R_{\text{total}}} =\dfrac{330 - 30}{0{,}04026371}.
Portanto
Q = \dfrac{300}{0{,}04026371}=7449{,}9\\ \mathrm{W}\approx 7{,}45\\ \mathrm{kW}.
Observação didática: é comum calcular primeiro a resistência por metro e depois multiplicar área/length; aqui fiz diretamente para L=10\\ \mathrm{m}; o resultado por metro seria Q/L \approx 744{,}99\\ \mathrm{W/m}.

Passo 7

Agora calcule as quedas de temperatura em cada resistência: para cada resistência R_j,
\Delta T_j = Q\cdot R_j.
Usando Q=7449{,}9\\ \mathrm{W}:
  1. Queda no gás (convecção interna):
\Delta T_{\text{gás}} = Q\cdot R_{\text{conv,i}} =7449{,}9\cdot 0{,}00159155 \approx 11{,}86^\circ\mathrm{C}.á
  1. Queda no tubo de aço (condução pelo aço):
\Delta T_{\text{aço}} = 7449{,}9\cdot 0{,}00044446 \approx 3{,}31^\circ\mathrm{C}.ç
  1. Queda no isolamento (condução pelo isolante):
\Delta T_{\text{ins}} = 7449{,}9\cdot 0{,}0336538 \approx 250{,}6^\circ\mathrm{C}.
  1. Queda no ar externo (convecção externa):
\Delta T_{\text{ar}} = 7449{,}9\cdot 0{,}0045739 \approx 34{,}2^\circ\mathrm{C}.
Confira: a soma das quedas deve dar T_a-T_b=300^\circ\mathrm{C}:
11{,}86 + 3{,}31 + 250{,}6 + 34{,}2 \approx 300^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Interpretação rápida e dica para prova: a queda de temperatura grande sobre o isolante (aqui ≈ 250^\circ\mathrm{C}) indica que a principal resistência está no isolante — ele limita fortemente o fluxo de calor. Se quiser reduzir perdas, aumentar a espessura ou escolher isolante com menor K aumenta ainda mais essa queda (reduz Q); ao contrário, trocar para material com maior K diminui a queda e aumenta Q. Em prova, calcule sempre as resistências em série como fizemos e cheque se a soma das quedas dá o total de ΔT para validar as contas.

Resposta

(a) Q \approx 7{,}45\\ \mathrm{kW} (perda de calor ao longo de 10\\ \mathrm{m}).\n(b) \Delta T_{\text{gás (conv. int.)}} \approx 11{,}86^\circ\mathrm{C}á\n \Delta T_{\text{tubo (aço)}} \approx 3{,}31^\circ\mathrm{C}ç\n \Delta T_{\text{isolante}} \approx 250{,}6^\circ\mathrm{C}\n \Delta T_{\text{ar (conv. ext.)}} \approx 34{,}2^\circ\mathrm{C}

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