Um cilindro com batentes, fechado por um pistão de massa mp=50 kg e seção A=0,1 m^2, que pode se mover livremente e sem atrito, contém uma certa quantidade de gás ideal monoatómico. O volume ocupado pelo gás quando o pistão atinge os batentes é VT=1,0 m^3. No estado inicial, o gás ocupa um volume V1=VT5 e está em equilíbrio, a uma temperatura T1=410 K. O gás é aquecido quase estaticamente por meio de uma máquina térmica que extrai calor de um reservatório térmico à temperatura TF=1100 K e o libera para o sistema pistão-cilindro, conforme mostrado na figura. O processo termina quando a máquina térmica não consegue mais extrair trabalho do sistema. Sabe-se que o número de ciclos que a máquina térmica completa durante o processo descrito é inteiro e que produz um trabalho de |W MT |=90 kJ. O gás só pode trocar calor com o motor térmico.
Determine a pressão do gás no estado inicial.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está nos pedindo. Temos um sistema composto por um cilindro com um pistão que pode se mover livremente, sem atrito. Esse pistão tem uma massa de $ \mathrm{m}_p = 50 , kg $ e uma área de seção transversal de $ A = 0,1 , m^2 $. Quando o pistão atinge os batentes, o volume do gás no cilindro é $ V_T = 1,0 , m^3 $. Inicialmente, o gás ocupa um volume menor, $ V_1 = \frac{V_T}{5} = 0,2 , m^3 $, e está em equilíbrio a uma temperatura de $ T_1 = 410 , K $.
Nosso objetivo é determinar a pressão do gás no estado inicial. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equilíbrio de forças e a lei dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o equilíbrio inicial do sistema. Como o pistão está em equilíbrio, a força para baixo causada pela massa do pistão é balanceada pela força exercida pelo gás para cima.
A força exercida pelo pistão é dada por:
Fp = mp cdot g
onde:
  • $ m_p $ é a massa do pistão ($ 50 , kg $),
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,81 , m/s^2 $).
Calculando:
mp

Passo 3

A força exercida pelo gás para equilibrar o pistão é dada por:
Fg = P cdot A
onde:
  • $ P $ é a pressão exercida pelo gás,
  • $ A $ é a área da seção transversal do pistão ($ 0,1 , m^2 $).
Como o sistema está em equilíbrio:
P

Passo 4

Agora, vamos isolar a pressão $ P $:
P
Substituindo os valores conhecidos:
P = mp cdot gA

Passo 5

Calculando a pressão:
P = 490,5 , N0,1 , m^2 = 4905 , Pa

Resposta

A pressão do gás no estado inicial é de $ \boxed{4905 , Pa} $.

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