Um cilindro com batentes, fechado por um pistão de massa
e seção
, que pode se mover livremente e sem atrito, contém uma certa quantidade de gás ideal monoatómico. O volume ocupado pelo gás quando o pistão atinge os batentes é
. No estado inicial, o gás ocupa um volume
e está em equilíbrio, a uma temperatura
. O gás é aquecido quase estaticamente por meio de uma máquina térmica que extrai calor de um reservatório térmico à temperatura
e o libera para o sistema pistão-cilindro, conforme mostrado na figura. O processo termina quando a máquina térmica não consegue mais extrair trabalho do sistema. Sabe-se que o número de ciclos que a máquina térmica completa durante o processo descrito é inteiro e que produz um trabalho de
. O gás só pode trocar calor com o motor térmico.
Determine a pressão do gás no estado inicial.
Determine a pressão do gás no estado inicial.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está nos pedindo. Temos um sistema composto por um cilindro com um pistão que pode se mover livremente, sem atrito. Esse pistão tem uma massa de $ \mathrm{m}_p = 50 , kg $ e uma área de seção transversal de $ A = 0,1 , m^2 $. Quando o pistão atinge os batentes, o volume do gás no cilindro é $ V_T = 1,0 , m^3 $. Inicialmente, o gás ocupa um volume menor, $ V_1 = \frac{V_T}{5} = 0,2 , m^3 $, e está em equilíbrio a uma temperatura de $ T_1 = 410 , K $.
Nosso objetivo é determinar a pressão do gás no estado inicial. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equilíbrio de forças e a lei dos gases ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o equilíbrio inicial do sistema. Como o pistão está em equilíbrio, a força para baixo causada pela massa do pistão é balanceada pela força exercida pelo gás para cima.
A força exercida pelo pistão é dada por:
onde:
- $ m_p $ é a massa do pistão ($ 50 , kg $),
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,81 , m/s^2 $).
Calculando:
Passo 3
A força exercida pelo gás para equilibrar o pistão é dada por:
onde:
- $ P $ é a pressão exercida pelo gás,
- $ A $ é a área da seção transversal do pistão ($ 0,1 , m^2 $).
Como o sistema está em equilíbrio:
Passo 4
Agora, vamos isolar a pressão $ P $:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 5
Calculando a pressão:
Resposta
A pressão do gás no estado inicial é de $ \boxed{4905 , Pa} $.