Um filme líquido de espessura constante igual a 1 cm desce por uma superfície plana (escoamento em regime laminar) em um experimento conhecido como “coluna de parede molhada”. A partir de uma posição situada em um plano \mathrm{x}=0 tal fluido é colocado em contato com um gás A, solúvel no líquido, de modo que na interface a condição de equilíbrio se estabelece de forma instantânea. Considerando que o tempo de exposição do fluido ao gás é de 55 s, calcular:
(a) Qual a concentração de A no líquido (em relação à de equilíbrio) em uma posição situada a 1 mm da superfície gás-líquido?
(b) Qual o comprimento do filme exposto ao gás A?
Dados: \rho_{\mathrm{f}}=750 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mu_{\mathrm{f}}=10^{-4} Pa.s; \mathrm{D}_{\mathrm{AB}}=2,1 \times 10^{-9} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado diz que um filme líquido de espessura constante igual a 1\\ \text{cm} desce por uma superfície plana (escoamento laminar). A partir de uma posição em \mathrm{x}=0 o líquido é posto em contato com um gás A solúvel, e na interface a condição de equilíbrio se estabelece instantaneamente (ou seja, a concentração do dissolvido na superfície do líquido é igual à concentração de equilíbrio C_{\mathrm{eq}}). O tempo de exposição do filme ao gás é t=55\\ \text{s}.
As perguntas são:
(a) Qual a concentração de A no líquido, em relação à de equilíbrio, numa posição situada a 1\\ \text{mm} da interface gás–líquido?
(b) Qual o comprimento do filme exposto ao gás A?
Dados fornecidos:
  • Densidade do líquido: \rho_{\mathrm{f}}=750\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Viscosidade dinâmica: \mu_{\mathrm{f}}=10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Difusividade molecular: D_{AB}=2{,}1\times 10^{-9}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • Espessura do filme: \delta=1\\ \text{cm}=0{,}01\\ \mathrm{m}.
  • Posição para (a): x=1\\ \text{mm}=0{,}001\\ \mathrm{m}.
  • Tempo de contato: t=55\\ \mathrm{s}.
Observações iniciais (apenas para clareza do que vou assumir):
  • Vou assumir que o filme está numa parede vertical (ângulo \theta=90^\circ, logo \sin\theta=1), que é a configuração usual na “coluna de parede molhada”.
  • Vou assumir que, antes do contato com o gás, a concentração de A no líquido é (praticamente) zero e que a superfície do líquido é mantida instantaneamente na concentração de equilíbrio C_{\mathrm{eq}}. Com isso o transporte no sentido perpendicular à interface é bem descrito por difusão transiente num meio semi-infinito (válido porque a espessura do filme \delta=0{,}01\\ \mathrm{m} é muito maior que a profundidade de penetração da difusão no tempo dado — isso será verificado mais adiante).

Passo 2

Modelagem do problema de difusão perpendicular (para a pergunta (a)) e solução conhecida.
Quando se impõe, de repente, uma concentração constante C_{\mathrm{eq}} na superfície x=0 de um sólido (ou líquido) inicialmente sem soluto, e o transporte na direção x é por difusão molecular com difusividade D, a equação que descreve o problema unidimensional é a equação da difusão (equação de calor transiente):
\frac{\partial C}{\partial t} = D\,\frac{\partial^{2} C}{\partial x^{2}}.
Condições típicas usadas aqui:
  • C(x,0)=0 para x>0 (inicialmente sem soluto),
  • C(0,t)=C_{\mathrm{eq}} para t>0 (superfície mantida em equilíbrio),
  • C(x,t)\to 0 quando x\to\infty.
A solução clássica (método da função de similaridade) para um meio semi-infinito é
C(x,t)=C_{\mathrm{eq}}\;\operatorname{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\right),
onde \operatorname{erfc} é a função complemento do erro (comportamento: \operatorname{erfc}(0)=1 e tende a 0 quando o argumento cresce). Portanto a concentração em relação à de equilíbrio é
\frac{C(x,t)}{C_{\mathrm{eq}}}=\operatorname{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\right).
Explicando de forma leve o que é \operatorname{erfc}: a função erro \operatorname{erf}(z) é uma integral ligada a distribuições gaussianas; \operatorname{erfc}(z)=1-\operatorname{erf}(z). Para valores do argumento maiores que 1 a \operatorname{erfc} já é pequena (por exemplo, \operatorname{erfc}(1{,}5) é da ordem de 0{,}03). Aqui ela mede quanto da concentração de equilíbrio já penetrou até a distância x em tempo t.
Antes de aplicar esta solução, preciso justificar a hipótese semi-infinita: a profundidade característica da penetração difusiva é do tipo \sqrt{D t}. Se \sqrt{D t}\ll \delta, o fundo do filme não afeta o perfil e a hipótese semi-infinita é razoável. Vou calcular \sqrt{D t} e comparar com \delta.

Passo 3

Cálculo da penetração difusiva e da concentração relativa em x=1\\ \text{mm}.
Calcular \sqrt{D t}:
D\,t = 2{,}1\times 10^{-9}\times 55 = 1{,}155\times 10^{-7}\\ \mathrm{m^{2}}.
\sqrt{D\,t} = \sqrt{1{,}155\times 10^{-7}} \approx 3{,}40\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Ou seja, \sqrt{D t}\approx 3{,}40\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}=0{,}34\\ \text{mm}. Isso é bem menor que a espessura do filme \delta=10\\ \text{mm}, então tratar o filme como semi-infinito para a penetração em x=1\\ \text{mm} é razoável.
Agora calcule o argumento da \operatorname{erfc} para x=0{,}001\\ \mathrm{m}:
\eta \equiv \frac{x}{2\sqrt{D t}} = \frac{0{,}001}{2\times 3{,}398\times 10^{-4}} \approx 1{,}471.
Usando uma aproximação assintótica ou tabelas/uma calculadora da função erro, acha-se
\operatorname{erfc}(1{,}471) \approx 0{,}0341.
Portanto
\frac{C(0{,}001,t)}{C_{\mathrm{eq}}} \approx 0{,}0341,
ou seja, cerca de 3{,}41\% da concentração de equilíbrio na posição a 1\\ \text{mm} da superfície, após 55\\ \text{s} de exposição.
Vou explicar rapidamente como obtive esse número: para argumentos em torno de 1{,}4 1{,}5, \operatorname{erfc} é baixinho. Uma estimativa assintótica razoável é
\operatorname{erfc}(z)\approx \frac{e^{-z^{2}}}{z\sqrt{\pi}}\left(1-\frac{1}{2z^{2}}\right)
para z\gtrsim 1; aplicando isso com z=1{,}471 dá o valor aproximado acima, compatível com tabelas numéricas.
Comentário prático: quer dizer que a substância A só penetrou pouco no líquido em 55 s — a difusividade é baixa e a posição 1\\ \text{mm} está fora da “zona atingida” substancialmente.

Passo 4

Cálculo do comprimento do filme exposto ao gás A (pergunta (b)). Modelo do escoamento laminar de filme que desce por uma placa vertical (solução de Nusselt).
Para um filme em escoamento laminar sob ação da gravidade numa parede inclinada de ângulo \theta (vertical \theta=90^\circ), a equação de momento reduz a um balanço simples que leva à velocidade perfil parabólico:
u(y)=\frac{\rho_{\mathrm{f}} g \sin\theta}{2\mu_{\mathrm{f}}}\,y\,(2\delta-y),
onde y é a coordenada perpendicular à superfície, y=0 na parede e y=\delta na interface. Para obter a velocidade média no filme (média sobre a espessura) calculamos o fluxo por unidade de largura q e dividimos por \delta:
q=\int_{0}^{\delta} u(y)\,dy = \frac{\rho_{\mathrm{f}} g \sin\theta}{3\mu_{\mathrm{f}}}\,\delta^{3}.
A velocidade média U_{\mathrm{m}} é U_{\mathrm{m}}=q/\delta, portanto
U_{\mathrm{m}}=\frac{\rho_{\mathrm{f}} g \sin\theta}{3\mu_{\mathrm{f}}}\,\delta^{2}.
É comum reescrever em termos da viscosidade cinemática \nu=\mu_{\mathrm{f}}/\rho_{\mathrm{f}} como
U_{\mathrm{m}}=\frac{g\sin\theta}{3\nu}\,\delta^{2}.
Assumindo parede vertical ( \sin\theta=1):
U_{\mathrm{m}}=\frac{g\,\delta^{2}}{3\nu} \qquad\text{com }\nu=\frac{\mu_{\mathrm{f}}}{\rho_{\mathrm{f}}}.
Comentário pedagógico curto: essa expressão vem de integrar a equação de Navier–Stokes em regime permanente, supondo que a variação ao longo da placa é suave e que as forças viscosas equilibram a componente tangencial da gravidade — a solução é clássica e chamada de perfil de Nusselt para filme fino.

Passo 5

Cálculos numéricos do comprimento exposto L.
Calcular a viscosidade cinemática:
\nu=\frac{\mu_{\mathrm{f}}}{\rho_{\mathrm{f}}}=\frac{10^{-4}}{750}=1{,}333\ldots\times 10^{-7}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
Calcular U_{\mathrm{m}}:
U_{\mathrm{m}}=\frac{g\,\delta^{2}}{3\nu}=\frac{9{,}81\times(0{,}01)^{2}}{3\times 1{,}333\ldots\times 10^{-7}}.
Numerador: 9{,}81\times 10^{-4}=9{,}81\times 10^{-4}. Denominador: 4{,}0\times 10^{-7}. Portanto
U_{\mathrm{m}}=\frac{9{,}81\times 10^{-4}}{4{,}0\times 10^{-7}} \approx 2{,}4525\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
Logo U_{\mathrm{m}}\approx 2{,}452{,}5\\ \mathrm{m/s}\times 10^{3}=2452{,}5\\ \mathrm{m/s}.
Agora o comprimento do filme exposto é simplesmente o deslocamento médio do fluido no tempo t:
L = U_{\mathrm{m}}\,t = 2452{,}5\times 55 \approx 134\,887{,}5\\ \mathrm{m}.
Ou seja, L\approx 1{,}35\times 10^{5}\\ \mathrm{m}, que são aproximadamente 134{,}9\\ \text{km}.
Observações importantes sobre esse resultado:
  • O valor numérico é extremamente grande e fisicamente surpreendente. Ele decorre diretamente dos dados fornecidos: a viscosidade dinâmica \mu_{\mathrm{f}}=10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s} combinada com a densidade relativamente baixa implica uma viscosidade cinemática muito pequena \nu\sim 1{,}3\times 10^{-7}\\ \mathrm{m^{2}/s}, o que fornece velocidades médias elevadas segundo a fórmula de Nusselt. Se na prática a viscosidade real for maior ou a placa não for perfeitamente vertical, o comprimento real será muito menor.
  • Se alguém obtiver esse exercício na prova, convém comentar (como fiz) que o número final deve ser verificado com sentido físico; mas matematicamente, com os dados fornecidos e as hipóteses usuais, este é o procedimento correto.

Resposta

(a) \dfrac{C(0{,}001,55)}{C_{\mathrm{eq}}}\approx 0{,}0341
(b) L\approx 1{,}34887\times 10^{5}\\ \mathrm{m}\\ (\approx 134{,}9\\ \text{km})

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