Um cilindro circular reto, de raio
e altura
, está orientado ao longo do eixo z. Possui uma densidade volumétrica de carga não uniforme dada por
em relação a uma origem no centro do cilindro. Encontre a integral que determina a força elétrica sobre uma carga q na posição
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo e o que vamos precisar para resolver. Temos um cilindro reto, com raio $ R $ e altura $ L $, alinhado no eixo z. A densidade de carga desse cilindro não é constante, mas varia com a posição ao longo do eixo z, dada por $ \rho(z) = \rho_0 + \beta z $. Queremos encontrar a integral que determina a força elétrica sobre uma carga $ q $ situada em $ z = 2L $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb e a superposição de forças elétricas. Vamos considerar um elemento de volume dentro do cilindro que contribui para a força total sobre a carga $ q $.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar um pequeno elemento de volume $ dV $ no cilindro. Esse elemento tem uma carga $ dq $ que pode ser calculada multiplicando a densidade de carga $ \rho(z) $ pelo volume $ dV $:
Passo 3
Como o cilindro está orientado ao longo do eixo z, é conveniente usar coordenadas cilíndricas para descrever o elemento de volume. Assim, podemos escrever:
onde $ r $ é a coordenada radial, $ \theta $ o ângulo e $ z $ a coordenada ao longo do eixo.
Passo 4
A distância entre o elemento de carga $ dq $ na posição $ (r, \theta, z) $ e a carga $ q $ em $ z = 2L $ é:
Passo 5
A força elétrica $ d\vec{F} $ exercida pelo elemento de carga $ dq $ sobre a carga $ q $ é dada pela Lei de Coulomb:
onde $ \hat{R} $ é o vetor unitário na direção de $ \vec{R} $.
Passo 6
Como a carga $ q $ está ao longo do eixo z, só a componente vertical da força vai somar. Então, podemos escrever a componente z da força:
onde $ \theta $ é o ângulo entre $ \vec{R} $ e o eixo z.
Passo 7
Substituindo $ \cos(\theta) $ por $ \frac{2L - z}{\vec{R}} $, a expressão para $ dF_z $ fica:
Passo 8
Para encontrar a força total $ F_z $, integramos $ dF_z $ sobre todo o volume do cilindro. As integrais em $ r $ vão de 0 a $ R $, em $ \theta $ de 0 a $ 2\pi $ e em $ z $ de $ -L/2 $ a $ L/2 $ (já que a origem está no centro do cilindro):
Resposta
A integral que determina a força elétrica sobre a carga $ q $ em $ z = 2L $ é: