É dado um cilindro circular reto, de raio R e comprimento L, contendo uma densidade de carga uniforme rho. Calcule o potencial eletrostático num ponto sobre o eixo do cilindro porém externo à distribuição.

Passo 1

Beleza, o problema diz o seguinte: temos um cilindro reto de raio R e comprimento L, com densidade de carga volumétrica uniforme rho. Queremos achar o potencial eletrostático V em um ponto que fica no prolongamento do eixo do cilindro, isto é, alinhado com o eixo, mas fora dele (distância do centro maior que L/2).
Conteúdo: eletrostática, potencial gerado por distribuição volumétrica de carga. Vamos precisar da definição
V( r)=integral14pivarepsilon0,dq| r- r'|
e usar superposição, dividindo o cilindro em “fatias” (discos) fáceis de integrar.

Passo 2

Ideia de resolução:
  1. Cortamos o cilindro em discos de espessura dz';
  2. Cada disco tem carga dq=rho,dV=rho,(dA,dz')=rho,( pi R^2),dz' distribuída sobre uma face circular;
  3. Sabemos que o potencial de um disco de densidade superficial sigma a uma distância d do seu centro (no eixo) vale Vrm disco(d)=sigma2varepsilon0l(raizR^2+d^2-dr)
    4) Aqui sigma=rho,dz', e d=|z-z'|, sendo z a posição do ponto onde queremos V. Então montamos
    dV=rho,dz'2varepsilon0l(raizR^2+(z-z')^2-|z-z'|r)
e integramos z' de -L/2 até +L/2.

Passo 3

Como o ponto está fora do cilindro ao longo do eixo, temos z>+L/2, logo z-z'>0 para todo z'in[-L/2,L/2]. Assim |z-z'|=z-z', e
$$V(z)=\int_{-L/2}^{L/2}dV
=\frac{\rho}{2\varepsilon_0}\int_{-L/2}{L/2}\Bigl(\sqrt{R2+(z-z’)^2}-(z-z’)\Bigr),dz’.$$

Passo 4

Separamos a integral em duas:
I₁ = integral-L/2^L/2raizR^2+(z-z')^2,dz',
I₂ = integral-L/2^L/2(z-z'),dz'.
  1. Calcular I₂:
I2=integral-L/2^L/2(z-z'),dz' =l[z,z'-tfrac12,z'^2r]-L/2^L/2 =zl(L/2-(-L/2)r)-tfrac12l((L/2)^2-(-L/2)^2r) =zL
  1. Calcular I₁: use mudança de variável u=z-z', então quando z'=-L/2, u=z+L/2, e quando z'=+L/2, u=z-L/2. Além disso du=-dz', o que inverte os limites, dando
I1=integralu=z-L/2^,z+L/2raizR^2+u^2;du
E sabemos a primitiva
$$\int\sqrt{R2+u2},du
=\frac u2\sqrt{R2+u2}+\frac{R2}{2}\ln\bigl(u+\sqrt{R2+u^2}\bigr)
,+C. integralraizR^2+u^2,du = u2raizR^2+u^2+R^22lnl(u+raizR^2+u^2r) ,+CI_1=\Bigl[\tfrac u2\sqrt{R2+u2}+\tfrac{R2}{2}\ln(u+\sqrt{R2+u2})\Bigr]_{,u=z-L/2}{,u=z+L/2}.$$

Passo 5

Juntando tudo em
V(z)=rho2varepsilon0l(I1-I2r) =rho2varepsilon0l l[F(z+L/2)-F(z-L/2)r]-zLr,
onde
F(u)= u2raizR^2+u^2+R^22lnl(u+raizR^2+u^2r)

Resposta

O potencial no ponto sobre o eixo, a distância z do centro (com z>L/2), é
boxed% V(z) =rho2varepsilon0glz+L/22raizR^2+(z+L/2)^2 -z-L/22raizR^2+(z-L/2)^2 +R^22ln!z+L/2+raizR^2+(z+L/2)^2,z-L/2+raizR^2+(z-L/2)^2, -zLgr

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