É dado um cilindro circular reto, de raio
e comprimento
, contendo uma densidade de carga uniforme
. Calcule o potencial eletrostático num ponto sobre o eixo do cilindro porém externo à distribuição.
Passo 1
Beleza, o problema diz o seguinte: temos um cilindro reto de raio
e comprimento
, com densidade de carga volumétrica uniforme
. Queremos achar o potencial eletrostático
em um ponto que fica no prolongamento do eixo do cilindro, isto é, alinhado com o eixo, mas fora dele (distância do centro maior que
).
Conteúdo: eletrostática, potencial gerado por distribuição volumétrica de carga. Vamos precisar da definição
Conteúdo: eletrostática, potencial gerado por distribuição volumétrica de carga. Vamos precisar da definição
e usar superposição, dividindo o cilindro em “fatias” (discos) fáceis de integrar.
Passo 2
Ideia de resolução:
- Cortamos o cilindro em discos de espessura
; - Cada disco tem carga
distribuída sobre uma face circular; - Sabemos que o potencial de um disco de densidade superficial
a uma distância do seu centro (no eixo) vale
4) Aqui, e , sendo a posição do ponto onde queremos . Então montamos
e integramos
de
até
.
Passo 3
Como o ponto está fora do cilindro ao longo do eixo, temos
, logo
para todo
. Assim
, e
$$V(z)=\int_{-L/2}^{L/2}dV
=\frac{\rho}{2\varepsilon_0}\int_{-L/2}{L/2}\Bigl(\sqrt{R2+(z-z’)^2}-(z-z’)\Bigr),dz’.$$
Passo 4
Separamos a integral em duas:
I₁ = ,
I₂ = .
I₁ =
I₂ =
- Calcular I₂:
- Calcular I₁: use mudança de variável
, então quando , , e quando , . Além disso , o que inverte os limites, dando
E sabemos a primitiva
$$\int\sqrt{R2+u2},du
=\frac u2\sqrt{R2+u2}+\frac{R2}{2}\ln\bigl(u+\sqrt{R2+u^2}\bigr)
,+C.
I_1=\Bigl[\tfrac u2\sqrt{R2+u2}+\tfrac{R2}{2}\ln(u+\sqrt{R2+u2})\Bigr]_{,u=z-L/2}{,u=z+L/2}.$$
Passo 5
Juntando tudo em
onde
Resposta
O potencial no ponto sobre o eixo, a distância
do centro (com
), é