Questão 4: A carga elétrica Q está uniformemente distribuída sobre o eixo x, desde x=0 até x=a. Calcule o campo elétrico E sobre o eixo x positivo, para valores de x>a.?

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que uma carga total está espalhada de forma uniforme ao longo do eixo , vai de até . A gente quer achar o campo elétrico num ponto também no eixo , mas com .
Conteúdo: eletrostática (lei de Coulomb), densidade de carga linear e integração.
O que precisamos:
  1. Definir a densidade linear .
  2. Expressar um elemento infinitesimal de carga .
  3. Montar a integral do campo usando a superposição (cada pedacinho de carga contribui com ).

Passo 2

Primeiro, densidade linear:
lambda = Qa,
Agora, escolhemos um pedacinho de carga numa posição dQ = lambda,dx' = Qa,dx', entre 0 e dE = 14pivarepsilon0,dQ(x - x')^2 :
Pelo enunciado, o ponto onde calculamos o campo está em (com ), então a distância entre e é .
Usando a lei de Coulomb, o módulo de é
e a direção é sempre ao longo de , porque toda a carga fica à esquerda do ponto .

Passo 3

Somando (integrando) todas as contribuições de E = integral0^a dE = integral0^a 14pivarepsilon0,(,Q/a,),dx'(x - x')^2 = Q4pivarepsilon0,a,integral0^adx'(x - x')^2, até integral0^adx'(x - x')^2 = integralu=x^u=x-a-duu^2 = integralu=x-a^u=xduu^2 = l[-1ur]u=x-a^u=x = -1x - l(-1,x-a,r) = 1,x-a, - 1x, , temos
Para resolver , a gente pode usar a substituição , daí . Quando , ; quando , . Ficamos com

Passo 4

Substituindo de volta em E = Q4pivarepsilon0,a,l(1,x-a, - 1xr) :
vec E = E,hatimath
E como já combinamos, o vetor fica todo em :

Resposta

boxedvec E(x) = Q4pivarepsilon0,a,l(1x-a - 1xr),hatimathpara x>a

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