Um cilindro circular reto de raio r e altura h possui volume igual a
. Sabendo que o cilindro possui menor área total possível, a altura
, é aproximadamente igual a:
a) 7,25
b) 6,90
c) 6,15
d) 3,63
е) 2,00
a) 7,25
b) 6,90
c) 6,15
d) 3,63
е) 2,00
Passo 1
O enunciado dá um cilindro circular reto com:
- raio
(em cm), - altura
(em cm), - volume igual a
.
O que é pedido:
- Determinar a altura
(em cm) quando a área total do cilindro é mínima, sabendo que o volume vale . - Escolher a alternativa correta entre as opções dadas.
Informações relevantes fornecidas:
- Volume fixo:
. - Variáveis a relacionar:
e . - Fórmulas usuais (serão usadas nos passos seguintes): volume do cilindro e área total do cilindro.
Passo 2
Escrever as fórmulas básicas e explicar os termos:
- Volume do cilindro:
onde
é o raio e
a altura. O produto
é a área da base e multiplicando por
dá o volume.
- Área total do cilindro (área lateral + duas bases):
Aqui
é a área lateral (circunferência da base
altura) e
é a área das duas bases.
Objetivo: minimizar
sujeito à restrição
.
Passo 3
Eliminar
usando a restrição do volume, para obter
em função de uma única variável
.
Da fórmula do volume:
Expliquei: isolei
dividindo ambos os lados de
por
.
Passo 4
Substituir
na expressão da área total e simplificar:
Agora simplifico o primeiro termo:
. Logo
Comentário didático: fiz isso para transformar o problema de otimização com restrição numa otimização de função de uma variável positiva
.
Passo 5
Encontrar o mínimo de
calculando a derivada e igualando a zero (método do cálculo diferencial).
Derivada de
(uso regra do poder e derivada de
):
Explicação das regras usadas:
- Derivada de
é então . - Derivada de
é .
Passo 6
Achar o ponto crítico resolvendo
:
Multiplico ambos os lados por
:
Portanto
Passo 7
Verificar que o ponto crítico é mínimo usando a segunda derivada.
Segunda derivada:
Para
temos
, logo a função é côncava para cima no ponto crítico e este ponto é mínimo de
. Conclusão: o valor de
obtido dá a área total mínima.
Passo 8
Encontrar
a partir de
. Usar a relação do volume:
Usando
podemos simplificar. Observe que
Como
, segue
Explicação: a simplificação mostra uma relação elegante: no cilindro de volume fixo que minimiza a área total, a altura vale o diâmetro da base (
). Isso é um resultado que aparece frequentemente em problemas de otimização geométrica.
Passo 9
Calcular numericamente
.
Primeiro calcule
.
Avaliação numérica aproximada:
A raiz cúbica de
é aproximadamente
(pois
). Assim
Como
,
Arredondando para duas casas decimais,
, que corresponde à alternativa (a).
Resposta
a)