Um cilindro circular reto de raio r e altura h possui volume igual a 300 \mathrm{~cm}^{3}. Sabendo que o cilindro possui menor área total possível, a altura \mathrm{h}, \mathrm{em} \mathrm{cm}, é aproximadamente igual a:
a) 7,25
b) 6,90
c) 6,15
d) 3,63
е) 2,00

Passo 1

O enunciado dá um cilindro circular reto com:
  • raio \,r (em cm),
  • altura \,h (em cm),
  • volume igual a \,300\\ \mathrm{cm}^3.
O que é pedido:
  • Determinar a altura \,h (em cm) quando a área total do cilindro é mínima, sabendo que o volume vale \,300\\ \mathrm{cm}^3.
  • Escolher a alternativa correta entre as opções dadas.
Informações relevantes fornecidas:
  • Volume fixo: \,V=300.
  • Variáveis a relacionar: \,r e \,h.
  • Fórmulas usuais (serão usadas nos passos seguintes): volume do cilindro e área total do cilindro.

Passo 2

Escrever as fórmulas básicas e explicar os termos:
  • Volume do cilindro: V=\pi r^{2}h,
onde \,r é o raio e \,h a altura. O produto \pi r^{2} é a área da base e multiplicando por \,h dá o volume.
  • Área total do cilindro (área lateral + duas bases): S = 2\pi r h + 2\pi r^{2}.
Aqui \,2\pi r h é a área lateral (circunferência da base \times altura) e \,2\pi r^{2} é a área das duas bases.
Objetivo: minimizar \,S sujeito à restrição \,V=300.

Passo 3

Eliminar \,h usando a restrição do volume, para obter \,S em função de uma única variável \,r.
Da fórmula do volume:
h=\frac{V}{\pi r^{2}}=\frac{300}{\pi r^{2}}.
Expliquei: isolei \,h dividindo ambos os lados de \,V=\pi r^{2}h por \pi r^{2}.

Passo 4

Substituir \,h na expressão da área total e simplificar:
S(r)=2\pi r\cdot\frac{300}{\pi r^{2}}+2\pi r^{2}.
Agora simplifico o primeiro termo: \,2\pi r\cdot\frac{300}{\pi r^{2}}=2\cdot300\cdot\frac{1}{r}=\frac{600}{r}. Logo
S(r)=\frac{600}{r}+2\pi r^{2}.
Comentário didático: fiz isso para transformar o problema de otimização com restrição numa otimização de função de uma variável positiva \,r>0.

Passo 5

Encontrar o mínimo de \,S(r) calculando a derivada e igualando a zero (método do cálculo diferencial).
Derivada de \,S(r) (uso regra do poder e derivada de 1/r):
S'(r) = -\frac{600}{r^{2}} + 4\pi r.
Explicação das regras usadas:
  • Derivada de \,r^{-1} é -r^{-2} então \,\frac{d}{dr}\left(\frac{600}{r}\right)=-600\cdot r^{-2}=-\frac{600}{r^{2}}.
  • Derivada de \,2\pi r^{2} é 4\pi r.

Passo 6

Achar o ponto crítico resolvendo S'(r)=0:
-\frac{600}{r^{2}}+4\pi r=0
4\pi r=\frac{600}{r^{2}}
Multiplico ambos os lados por r^{2}:
4\pi r^{3}=600
r^{3}=\frac{600}{4\pi}=\frac{150}{\pi}.
Portanto
r=\left(\frac{150}{\pi}\right)^{1/3}.

Passo 7

Verificar que o ponto crítico é mínimo usando a segunda derivada.
Segunda derivada:
S''(r)=\frac{1200}{r^{3}}+4\pi.
Para \,r>0 temos \,S''(r)>0, logo a função é côncava para cima no ponto crítico e este ponto é mínimo de \,S. Conclusão: o valor de \,r obtido dá a área total mínima.

Passo 8

Encontrar \,h a partir de \,r. Usar a relação do volume:
h=\frac{300}{\pi r^{2}}.
Usando \,r^{3}=\dfrac{150}{\pi} podemos simplificar. Observe que
h=\frac{300}{\pi r^{2}}=\frac{2\cdot150}{\pi r^{2}}=2\cdot\frac{150}{\pi}\cdot\frac{1}{r^{2}}.
Como \,\dfrac{150}{\pi}=r^{3}, segue
h=2\cdot\frac{r^{3}}{r^{2}}=2r.
Explicação: a simplificação mostra uma relação elegante: no cilindro de volume fixo que minimiza a área total, a altura vale o diâmetro da base ( h=2r). Isso é um resultado que aparece frequentemente em problemas de otimização geométrica.

Passo 9

Calcular numericamente \,h.
Primeiro calcule \,r=\left(\dfrac{150}{\pi}\right)^{1/3}.
Avaliação numérica aproximada:
\frac{150}{\pi}\approx\frac{150}{3{,}14159265}\approx47{,}74648.
A raiz cúbica de \,47{,}74648 é aproximadamente \,3{,}6268 (pois 3{,}6268^{3}\approx47{,}746). Assim
r\approx3{,}6268\\ \text{cm}.
Como \,h=2r,
h\approx2\cdot3{,}6268\approx7{,}2536\\ \text{cm}.
Arredondando para duas casas decimais, \,h\approx7{,}25\\ \text{cm}, que corresponde à alternativa (a).

Resposta

a) 7{,}25

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