Um reservatório cônico está sendo enchido a uma vazão de
. O reservatório possui 9 metros de altura e sua base, que está na parte inferior, possui 6 metros de diâmetro. O quão rápido o nível da água está subindo quando a água estiver a 6 metros do topo?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados ele dá:
-
Dados fornecidos:
- Vazão de enchimento:
(volume por segundo). - Altura do cone:
. - Diâmetro da base do cone:
, logo raio da base . - O enunciado diz que a água está a
do topo. Isso significa que a distância vertical entre a superfície livre da água e o topo do cone é . Como a altura total é , a altura da coluna de água medida a partir da base (variável que usaremos) é
- Vazão de enchimento:
-
O que é pedido:
- Determinar a velocidade com que o nível da água está subindo, ou seja
, no instante em que .
- Determinar a velocidade com que o nível da água está subindo, ou seja
Passo 2
Definir variáveis e relação geométrica entre raio da superfície da água e altura:
- Seja
a altura da água medida a partir da base do cone (em metros). - Seja
o raio da superfície livre da água (em metros). - Pela semelhança de triângulos entre o cone cheio e o cone formado pela água, a razão entre raio e altura é constante:
- Portanto, expressamos
em função de :
(Explicação curta sobre semelhança de triângulos: os triângulos gerados pelos eixos do cone e pelas geratrizes são proporcionais; assim, qualquer seção parecida em uma escala menor tem razão entre raio e altura igual à do cone inteiro.)
Passo 3
Expressar o volume de água em função de
:
- Volume de um cone de raio
e altura é dado por - Substituindo
obtemos
(Comentário didático: escrevemos
só em função de
porque queremos relacionar a taxa
conhecida com
desconhecida.)
Passo 4
Derivar em relação ao tempo e aplicar regra da cadeia:
- Diferenciando
em relação ao tempo , usando a regra da cadeia (derivada de é ): - Simplificando:
- Isolando
:
(Explicação da ideia:
diz quão rápido o volume muda; como o volume depende de
, usamos a derivada composta para achar quão rápido
muda.)
Passo 5
Substituir os valores numéricos e calcular
no instante pedido:
- Substituir
e em
Passo 6
Verificação rápida de consistência e interpretação:
- A unidade ficou
, coerente para velocidade de subida do nível. - O valor
é razoável: com vazão grande, o nível sobe relativamente rápido, e o cálculo mostra que neste instante (altura pequena ) a seção transversal é menor, então uma mesma vazão eleva o nível mais rapidamente do que quando o tanque está quase cheio.