Um reservatório cônico está sendo enchido a uma vazão de 2 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. O reservatório possui 9 metros de altura e sua base, que está na parte inferior, possui 6 metros de diâmetro. O quão rápido o nível da água está subindo quando a água estiver a 6 metros do topo?
a) \frac{3}{8 \pi} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
b) \frac{1}{2 \pi} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
c) \frac{4}{\pi} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
d) \frac{9}{8 \pi} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
e) \frac{2}{\pi} \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados ele dá:
  • Dados fornecidos:
    • Vazão de enchimento: \dfrac{dV}{dt}=2\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} (volume por segundo).
    • Altura do cone: H=9\\ \mathrm{m}.
    • Diâmetro da base do cone: 6\\ \mathrm{m}, logo raio da base R=3\\ \mathrm{m}.
    • O enunciado diz que a água está a 6\\ \mathrm{m} do topo. Isso significa que a distância vertical entre a superfície livre da água e o topo do cone é 6\\ \mathrm{m}. Como a altura total é 9\\ \mathrm{m}, a altura da coluna de água medida a partir da base (variável que usaremos) é
    h=H-6=9-6=3\\ \mathrm{m}.
  • O que é pedido:
    • Determinar a velocidade com que o nível da água está subindo, ou seja \dfrac{dh}{dt}, no instante em que \,h=3\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Definir variáveis e relação geométrica entre raio da superfície da água e altura:
  • Seja h a altura da água medida a partir da base do cone (em metros).
  • Seja r o raio da superfície livre da água (em metros).
  • Pela semelhança de triângulos entre o cone cheio e o cone formado pela água, a razão entre raio e altura é constante: \frac{r}{h}=\frac{R}{H}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.
  • Portanto, expressamos r em função de h: r=\frac{1}{3}\,h.
(Explicação curta sobre semelhança de triângulos: os triângulos gerados pelos eixos do cone e pelas geratrizes são proporcionais; assim, qualquer seção parecida em uma escala menor tem razão entre raio e altura igual à do cone inteiro.)

Passo 3

Expressar o volume de água em função de h:
  • Volume de um cone de raio r e altura h é dado por V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.
  • Substituindo r=\dfrac{1}{3}h obtemos V=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{1}{3}h\right)^{2}h
V=\frac{1}{3}\pi\frac{h^{2}}{9}h
V=\frac{\pi}{27}\,h^{3}.
(Comentário didático: escrevemos V só em função de h porque queremos relacionar a taxa \dfrac{dV}{dt} conhecida com \dfrac{dh}{dt} desconhecida.)

Passo 4

Derivar em relação ao tempo e aplicar regra da cadeia:
  • Diferenciando V=\dfrac{\pi}{27}h^{3} em relação ao tempo t, usando a regra da cadeia (derivada de h^{3} é 3h^{2}\cdot \dfrac{dh}{dt}): \frac{dV}{dt}=\frac{\pi}{27}\cdot 3h^{2}\cdot\frac{dh}{dt}.
  • Simplificando: \frac{dV}{dt}=\frac{\pi}{9}\,h^{2}\,\frac{dh}{dt}.
  • Isolando \dfrac{dh}{dt}: \frac{dh}{dt}=\frac{1}{\dfrac{\pi}{9}h^{2}}\cdot\frac{dV}{dt}=\frac{9}{\pi h^{2}}\cdot\frac{dV}{dt}.
(Explicação da ideia: \dfrac{dV}{dt} diz quão rápido o volume muda; como o volume depende de h, usamos a derivada composta para achar quão rápido h muda.)

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular \dfrac{dh}{dt} no instante pedido:
  • Substituir \dfrac{dV}{dt}=2\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s} e h=3\\ \mathrm{m} em \frac{dh}{dt}=\frac{9}{\pi h^{2}}\cdot\frac{dV}{dt}
\frac{dh}{dt}=\frac{9}{\pi\cdot 3^{2}}\cdot 2
\frac{dh}{dt}=\frac{9}{\pi\cdot 9}\cdot 2
\frac{dh}{dt}=\frac{1}{\pi}\cdot 2
\frac{dh}{dt}=\frac{2}{\pi}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 6

Verificação rápida de consistência e interpretação:
  • A unidade ficou \mathrm{m}/\mathrm{s}, coerente para velocidade de subida do nível.
  • O valor \dfrac{2}{\pi}\approx 0{,}6366\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} é razoável: com vazão grande, o nível sobe relativamente rápido, e o cálculo mostra que neste instante (altura pequena h=3\\ \mathrm{m}) a seção transversal é menor, então uma mesma vazão eleva o nível mais rapidamente do que quando o tanque está quase cheio.

Resposta

\dfrac{2}{\pi}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

Exercícios relacionados