Denota-se a derivada de ordem
da função
por
. Considere as funções
e
. Assinale a expressão que apresenta corretamente
.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado:
e . - Pedido: identificar, entre as alternativas, a expressão que é igual a
- Observação importante: os ordinais presentes são os pares
. Vou transformar esses índices pares em para facilitar.
Passo 2
Relembrando (e explicando) como derivar repetidamente
e
, de forma bem prática.
- Regra básica (derivada de função composta): se
então . Isso vem de com e . - Computei as primeiras derivadas para ver o padrão:
- Observando a sequência: as derivadas de
ciclam a cada 4 e, para ordens pares , o resultado é proporcional a com fator . Formalmente: Explicação rápida: cada duas derivações trocam sinal (porque ) e cada derivada traz um fator , então em derivações vem e o sinal fica .
Passo 3
Fazer o mesmo para
(mesma ideia, detalhada):
- Primeiras derivadas:
e assim por diante. Para ordens pares obtemos análogo:
Passo 4
Agora somo as derivadas de ordem
de
e
.
- Para cada
, - Usando as fórmulas do passo anterior:
- Observação sobre símbolos: a alternativa usa
em vez de , mas porque .
Passo 5
Determinar o intervalo de soma (índices).
- Os termos pedidos no enunciado são exatamente as derivadas de ordens
. - Escrevendo
igual a esses números, obtemos porque .
Passo 6
Construir a soma final usando o que achamos:
- A soma dos termos é
- Reescrevendo com a forma presente nas alternativas (usando
no lugar de , que é equivalente):
Resposta
d)