Denota-se a derivada de ordem n da função y=y(x) por \frac{d^{n} y}{d x^{n}}(x). Considere as funções f(x)=\operatorname{sen} 3 x e g(x)=\cos 3 x. Assinale a expressão que apresenta corretamente \frac{\mathrm{d}^{2}(\mathrm{f}+\mathrm{g})}{\mathrm{dx}^{2}}(\mathrm{x})+\frac{\mathrm{d}^{4}(\mathrm{f}+\mathrm{g})}{\mathrm{dx}^{4}}(\mathrm{x})+\frac{\mathrm{d}^{6}(\mathrm{f}+\mathrm{g})}{\mathrm{dx}^{6}}(\mathrm{x})+\frac{\mathrm{d}^{8}(\mathrm{f}+\mathrm{g})}{\mathrm{dx}^{8}}(\mathrm{x})+\cdots+\frac{\mathrm{d}^{2024}(\mathrm{f}+\mathrm{g})}{\mathrm{dx}^{2024}}(\mathrm{x}).
a) \sum_{\mathrm{k}=0}^{2024}(-1)^{\mathrm{k}+2} \cdot 3^{2 \mathrm{k}}(\cos 3 \mathrm{x}+\operatorname{sen} 3 \mathrm{x})
b) \sum_{\mathrm{k}=1}^{2024}(-1)^{\mathrm{k}+2} \cdot 3^{2 \mathrm{k}}(\cos 3 \mathrm{x}+\operatorname{sen} 3 \mathrm{x})
c) \sum_{\mathrm{k}=0}^{1012}(-1)^{\mathrm{k}+2} \cdot 3^{2 \mathrm{k}}(\cos 3 \mathrm{x}+\operatorname{sen} 3 \mathrm{x})
d) \sum_{\mathrm{k}=1}^{1012}(-1)^{\mathrm{k}+2} \cdot 3^{2 \mathrm{k}}(\cos 3 \mathrm{x}+\operatorname{sen} 3 \mathrm{x})
e) \sum_{\mathrm{k}=1}^{2024}(-1)^{\mathrm{k}+2} \cdot 3^{2 \mathrm{k}}(\cos 3 \mathrm{x}-\operatorname{sen} 3 \mathrm{x})

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: f(x)=\sin 3x e g(x)=\cos 3x.
  • Pedido: identificar, entre as alternativas, a expressão que é igual a \frac{d^{2}(f+g)}{dx^{2}}(x)+\frac{d^{4}(f+g)}{dx^{4}}(x)+\frac{d^{6}(f+g)}{dx^{6}}(x)+\cdots+\frac{d^{2024}(f+g)}{dx^{2024}}(x).
  • Observação importante: os ordinais presentes são os pares 2,4,6,\dots,2024. Vou transformar esses índices pares em 2k para facilitar.

Passo 2

Relembrando (e explicando) como derivar repetidamente \sin(3x) e \cos(3x), de forma bem prática.
  • Regra básica (derivada de função composta): se h(x)=\sin(3x) então h'(x)=3\cos(3x). Isso vem de \frac{d}{dx}\sin(u)=\cos(u)\cdot u' com u=3x e u'=3.
  • Computei as primeiras derivadas para ver o padrão: \begin{aligned} \frac{d}{dx}\sin(3x)&=3\cos(3x),\\\ \frac{d^{2}}{dx^{2}}\sin(3x)&=\frac{d}{dx}\bigl(3\cos(3x)\bigr)=3\cdot(-3)\sin(3x)=-3^{2}\sin(3x),\\\ \frac{d^{3}}{dx^{3}}\sin(3x)&=\frac{d}{dx}\bigl(-3^{2}\sin(3x)\bigr)=-3^{2}\cdot3\cos(3x)=-3^{3}\cos(3x),\\\ \frac{d^{4}}{dx^{4}}\sin(3x)&=\frac{d}{dx}\bigl(-3^{3}\cos(3x)\bigr)=-3^{3}\cdot(-3)\sin(3x)=3^{4}\sin(3x). \end{aligned}
  • Observando a sequência: as derivadas de \sin(3x) ciclam a cada 4 e, para ordens pares 2k, o resultado é proporcional a \sin(3x) com fator (-1)^{k}3^{2k}. Formalmente: \frac{d^{2k}}{dx^{2k}}\sin(3x)=(-1)^{k}3^{2k}\sin(3x).Explicação rápida: cada duas derivações trocam sinal (porque \sin\to\cos\to -\sin) e cada derivada traz um fator 3, então em 2k derivações vem 3^{2k} e o sinal fica (-1)^k.

Passo 3

Fazer o mesmo para \cos(3x) (mesma ideia, detalhada):
  • Primeiras derivadas: \begin{aligned} \frac{d}{dx}\cos(3x)&=-3\sin(3x),\\\ \frac{d^{2}}{dx^{2}}\cos(3x)&=-3\cdot3\cos(3x)=-3^{2}\cos(3x),\\\ \frac{d^{4}}{dx^{4}}\cos(3x)&=3^{4}\cos(3x), \end{aligned}e assim por diante. Para ordens pares 2k obtemos análogo: \frac{d^{2k}}{dx^{2k}}\cos(3x)=(-1)^{k}3^{2k}\cos(3x).

Passo 4

Agora somo as derivadas de ordem 2k de f e g.
  • Para cada k\ge1, \frac{d^{2k}}{dx^{2k}}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=\frac{d^{2k}}{dx^{2k}}\sin(3x)+\frac{d^{2k}}{dx^{2k}}\cos(3x).
  • Usando as fórmulas do passo anterior: \frac{d^{2k}}{dx^{2k}}\bigl(f+g\bigr)=(-1)^{k}3^{2k}\sin(3x)+(-1)^{k}3^{2k}\cos(3x)=(-1)^{k}3^{2k}\bigl(\cos(3x)+\sin(3x)\bigr).
  • Observação sobre símbolos: a alternativa usa (-1)^{k+2} em vez de (-1)^k, mas (-1)^{k+2}=(-1)^k porque (-1)^2=1.

Passo 5

Determinar o intervalo de soma (índices).
  • Os termos pedidos no enunciado são exatamente as derivadas de ordens 2,4,6,\dots,2024.
  • Escrevendo 2k igual a esses números, obtemos k=1,2,3,\dots,1012 porque 2024/2=1012.

Passo 6

Construir a soma final usando o que achamos:
  • A soma dos termos é \sum_{k=1}^{1012}(-1)^{k}3^{2k}\bigl(\cos(3x)+\sin(3x)\bigr).
  • Reescrevendo com a forma presente nas alternativas (usando (-1)^{k+2} no lugar de (-1)^k, que é equivalente): \sum_{k=1}^{1012}(-1)^{k+2}\cdot 3^{2k}\bigl(\cos(3x)+\sin(3x)\bigr).

Resposta

d)

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