Seja f uma função polinomial, na variável x , de menor grau possível e coeficientes reais, tal que \mathrm{f}(1)=2, \mathrm{f}(4)=3, \mathrm{f}(3)=4 e \mathrm{f}(2)=1 Assim, é correto afirmar que f :
a) possui ponto de inflexão em x=\frac{5}{2}.
b) possui ponto de máximo absoluto em \mathrm{x}=3.
c) possui um ponto de mínimo absoluto em \mathrm{x}=1.
d) não é contínua em \mathrm{x}=1.
e) não há um ponto de máximo local com \mathrm{x}>3.

Passo 1

O enunciado dá uma função polinomial f (em x) de menor grau possível com os valores:
  • f(1)=2
  • f(2)=1
  • f(3)=4
  • f(4)=3
O que se pede é dizer qual das afirmações abaixo é correta:
a) possui ponto de inflexão em x=\dfrac{5}{2}.
b) possui ponto de máximo absoluto em x=3.
c) possui um ponto de mínimo absoluto em x=1.
d) não é contínua em x=1.
e) não há um ponto de máximo local com x>3.

Passo 2

Primeiro esclarecimento técnico (sem resolver já): com quatro condições do tipo f(x_i)=y_i o polinômio de menor grau que pode atender todas elas tem grau no máximo 3 (um polinômio de grau n tem n+1 coeficientes livres). Logo podemos buscar um polinômio cúbico \,f(x)=ax^3+bx^2+cx+d que passe pelos quatro pontos fornecidos. Vou construir esse cúbico de maneira prática usando diferenças finitas (aproveitando que os x estão igualmente espaçados: 1,2,3,4).

Passo 3

Montando a tabela de diferenças (valores em cada passo são calculados a partir dos dados):
  • Valores: f(1)=2,\; f(2)=1,\; f(3)=4,\; f(4)=3.
  • Primeiras diferenças: \Delta_1 = f(2)-f(1)=1-2=-1,\qquad \Delta_2=f(3)-f(2)=4-1=3,\qquad \Delta_3=f(4)-f(3)=3-4=-1.
  • Segundas diferenças: \Delta^2_1=\Delta_2-\Delta_1=3-(-1)=4,\qquad \Delta^2_2=\Delta_3-\Delta_2=-1-3=-4.
  • Terceira diferença: \Delta^3_1=\Delta^2_2-\Delta^2_1=-4-4=-8.
Para um polinômio cúbico com espaçamento unitário, a forma de Newton (com base em x_0=1) é
f(x)=f(1)+(x-1)\Delta_1+\frac{(x-1)(x-2)}{2}\Delta^2_1+\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{6}\Delta^3_1.
Agora substituo os valores que calculei:
f(x)=2+(x-1)(-1)+\frac{(x-1)(x-2)}{2}\cdot 4+\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{6}\cdot(-8).

Passo 4

Simplifico passo a passo a expressão encontrada:
  • A segunda parcela é (x-1)(-1)=-x+1.
  • A terceira parcela tem \dfrac{4}{2}=2, logo 2(x-1)(x-2).
  • A quarta parcela tem \dfrac{-8}{6}=-\dfrac{4}{3}, logo -\dfrac{4}{3}(x-1)(x-2)(x-3).
Portanto
f(x)=2 - x + 1 + 2(x-1)(x-2) - \frac{4}{3}(x-1)(x-2)(x-3).
Agrupando 2+1=3 e expandindo os fatores importantes:
(x-1)(x-2)=x^2-3x+2,
(x-1)(x-2)(x-3)=x^3-6x^2+11x-6.
Multiplicando e somando os termos obtemos a forma polinomial padrão
f(x)=-\frac{4}{3}x^3+10x^2-\frac{65}{3}x+15.
(Verificação rápida: ao substituir x=1,2,3,4 obtém-se 2,1,4,3, respectivamente.)

Passo 5

Agora calculo as derivadas para estudar concavidade e extremos:
  • Derivada primeira: f'(x)=-4x^2+20x-\frac{65}{3}=\frac{-12x^2+60x-65}{3}.
  • Derivada segunda: f''(x)=-8x+20.

Passo 6

Ponto de inflexão: ocorre onde f''(x)=0 e (no caso de polinômios) muda de sinal. Resolvo
-8x+20=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}.
Como f''(x) é uma função linear, ela muda de sinal ao passar por essa raiz, logo x=\dfrac{5}{2} é de fato um ponto de inflexão. Assim a afirmativa (a) é verdadeira.

Passo 7

Extremos locais: primeiro encontro os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
-12x^2+60x-65=0\quad\text{(multiplicando por 3 para limpar denominador).}
Calculo do discriminante:
\Delta=60^2-4\cdot 12\cdot 65=3600-3120=480.
Raízes:
x=\frac{60\pm\sqrt{480}}{24}=\frac{15\pm\sqrt{30}}{6}.
Aproximações numéricas: \sqrt{30}\approx 5{,}4772, portanto
x_1\approx\frac{15-5{,}4772}{6}\approx 1{,}5871,\qquad x_2\approx\frac{15+5{,}4772}{6}\approx 3{,}4129.
Classificação usando f'':
f''(1{,}5871)=-8(1{,}5871)+20\approx +7{,}30>0\quad\Rightarrow\text{mínimo local em }x\approx1{,}5871,í
f''(3{,}4129)=-8(3{,}4129)+20\approx -7{,}30<0\quad\Rightarrow\text{máximo local em }x\approx3{,}4129.á
Conclusões relativas às alternativas:
  • (e) diz que não há ponto de máximo local com x>3. Isso é falso: existe um máximo local em x\approx 3{,}4129>3.
  • (b) afirma máximo absoluto em x=3. Isso é falso: o máximo local está em x\approx3{,}4129, e além disso um polinômio cúbico com coeficiente líder negativo ( -\tfrac{4}{3}) não tem máximo absoluto finito (tende a +\infty quando x\to -\infty), então não há máximo absoluto em x=3.
  • (c) diz mínimo absoluto em x=1. Falso: x=1 não é ponto crítico e o cúbico não tem mínimo absoluto (tende a -\infty quando x\to+\infty).
  • (d) diz que não é contínua em x=1. Falso: polinômios são contínuos em todo ponto.
Portanto, apenas a afirmativa (a) é correta.

Resposta

a) possui ponto de inflexão em x=\dfrac{5}{2}.

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