Seja f uma função polinomial, na variável x , de menor grau possível e coeficientes reais, tal que
e
Assim, é correto afirmar que f :
a) possui ponto de inflexão em
.
b) possui ponto de máximo absoluto em
.
c) possui um ponto de mínimo absoluto em
.
d) não é contínua em
.
e) não há um ponto de máximo local com
.
a) possui ponto de inflexão em
b) possui ponto de máximo absoluto em
c) possui um ponto de mínimo absoluto em
d) não é contínua em
e) não há um ponto de máximo local com
Passo 1
O enunciado dá uma função polinomial
(em
) de menor grau possível com os valores:
O que se pede é dizer qual das afirmações abaixo é correta:
a) possui ponto de inflexão em .
b) possui ponto de máximo absoluto em .
c) possui um ponto de mínimo absoluto em .
d) não é contínua em .
e) não há um ponto de máximo local com .
a) possui ponto de inflexão em
b) possui ponto de máximo absoluto em
c) possui um ponto de mínimo absoluto em
d) não é contínua em
e) não há um ponto de máximo local com
Passo 2
Primeiro esclarecimento técnico (sem resolver já): com quatro condições do tipo
o polinômio de menor grau que pode atender todas elas tem grau no máximo
(um polinômio de grau
tem
coeficientes livres). Logo podemos buscar um polinômio cúbico
que passe pelos quatro pontos fornecidos. Vou construir esse cúbico de maneira prática usando diferenças finitas (aproveitando que os
estão igualmente espaçados:
).
Passo 3
Montando a tabela de diferenças (valores em cada passo são calculados a partir dos dados):
- Valores:
. - Primeiras diferenças:
- Segundas diferenças:
- Terceira diferença:
Para um polinômio cúbico com espaçamento unitário, a forma de Newton (com base em
) é
Agora substituo os valores que calculei:
Passo 4
Simplifico passo a passo a expressão encontrada:
- A segunda parcela é
. - A terceira parcela tem
, logo . - A quarta parcela tem
, logo .
Portanto
Agrupando
e expandindo os fatores importantes:
Multiplicando e somando os termos obtemos a forma polinomial padrão
(Verificação rápida: ao substituir
obtém-se
, respectivamente.)
Passo 5
Agora calculo as derivadas para estudar concavidade e extremos:
- Derivada primeira:
- Derivada segunda:
Passo 6
Ponto de inflexão: ocorre onde
e (no caso de polinômios) muda de sinal. Resolvo
Como
é uma função linear, ela muda de sinal ao passar por essa raiz, logo
é de fato um ponto de inflexão. Assim a afirmativa (a) é verdadeira.
Passo 7
Extremos locais: primeiro encontro os pontos críticos resolvendo
:
Calculo do discriminante:
Raízes:
Aproximações numéricas:
, portanto
Classificação usando
:
Conclusões relativas às alternativas:
- (e) diz que não há ponto de máximo local com
. Isso é falso: existe um máximo local em . - (b) afirma máximo absoluto em
. Isso é falso: o máximo local está em , e além disso um polinômio cúbico com coeficiente líder negativo ( ) não tem máximo absoluto finito (tende a quando ), então não há máximo absoluto em . - (c) diz mínimo absoluto em
. Falso: não é ponto crítico e o cúbico não tem mínimo absoluto (tende a quando ). - (d) diz que não é contínua em
. Falso: polinômios são contínuos em todo ponto.
Portanto, apenas a afirmativa (a) é correta.
Resposta
a) possui ponto de inflexão em
.