Um cilindro circular reto, de raio R e altura L, está orientado ao longo do eixo z. Possui uma densidade volumétrica não uniforme de carga dada por rho(z)=rho0+beta z em relação a uma origem no centro do cilindro. Determine a força sobre uma carga puntual q situada no centro do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz: “Um cilindro de raio E(r) = 14pivarepsilon0 integral rho(r')(r-r')|r-r'|^3,dV' e altura , densidade volumétrica (origem no centro do cilindro), pede a força sobre uma carga pontual no centro.”
Conteúdo: campo elétrico gerado por distribuição volumétrica de carga. Para resolver, vamos usar:
  1. Lei de Coulomb contínua:
  1. Simetria cilíndrica (parte radial cancela).
  2. Cálculo de integrais em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, como a carga está no centro, a posição do “ponto de observação” é dE = 14pivarepsilon0;rho(z),(0-r,;0-0,;0-z)(r^2+z^2)^3/2,r,dr,dtheta,dz . A densidade é função só de dEz = 14pivarepsilon0;rho(z),(-z)(r^2+z^2)^3/2;r,dr,dtheta,dz . Num elemento de volume , o vetor de campo gerado por esse pedacinho em é
Por simetria, as componentes somam zero (integral em cancela). Só sobra a componente :

Passo 3

Escrevendo a integral total:
Ez = integral dEz = -14pivarepsilon0 integralz=-L/2^L/2!!integraltheta=0^2pi!!integralr=0^R l(rho0+beta zr),z(r^2+z^2)^3/2;r,dr,dtheta,dz
Fatoramos o Ez = -2pi4pivarepsilon0 integral-L/2^L/2!! (rho0+beta z),z1, l[integral0^Rr,dr(r^2+z^2)^3/2r]dz :
Note que o termo com é simétrico de a , e dá zero. Só sobra o → integrando , par.

Passo 4

Calcule o integral em Ir(z)=integral0^Rr,dr(r^2+z^2)^3/2 =l[-1raizr^2+z^2r]0^R = 1|z|-1raizR^2+z^2 :
Como depois vamos integrar simetricamente, usamos , e vale de boa.

Passo 5

Agora o integral em Ez = -2pi4pivarepsilon0;beta integral-L/2^L/2z^2,l(tfrac1|z|-tfrac1raizR^2+z^2r),dz . Só com o termo 2l[ L/22raizl(tfracL2r)^2+R^2 -R^22ln!l(raizR^2+(L/2)^2+L/2Rr) r] :
Ez = -beta2varepsilon0l(L^24-2Jr)
Separe em duas partes:
  1. que dá (usando e tabelas)
Chame isto de . Então

Passo 6

A força sobre a carga Fz = q,Ez = -q,beta2varepsilon0l(L^24-2Jr), no centro é J = L4raizl(tfracL2r)^2+R^2 -R^22ln!l(raizR^2+(L/2)^2+L/2Rr) . Como só tem :
com

Resposta

A força sobre a carga boxed Fz = -q,beta2,varepsilon0 gl[L^24 -2l( L4raizl(tfracL2r)^2+R^2 -R^22ln!l(raizR^2+(L/2)^2+L/2Rr) r)gr] no centro, ao longo do eixo , é
O sinal “ quando .

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