Um cilindro circular reto, de raio
e altura
, está orientado ao longo do eixo
. Possui uma densidade volumétrica não uniforme de carga dada por
em relação a uma origem no centro do cilindro. Determine a força sobre uma carga puntual
situada no centro do cilindro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz: “Um cilindro de raio
e altura
, densidade volumétrica
(origem no centro do cilindro), pede a força sobre uma carga pontual
no centro.”
Conteúdo: campo elétrico gerado por distribuição volumétrica de carga. Para resolver, vamos usar:
Conteúdo: campo elétrico gerado por distribuição volumétrica de carga. Para resolver, vamos usar:
- Lei de Coulomb contínua:
- Simetria cilíndrica (parte radial cancela).
- Cálculo de integrais em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, como a carga está no centro, a posição do “ponto de observação” é
. A densidade é função só de
. Num elemento de volume
, o vetor de campo gerado por esse pedacinho em
é
Por simetria, as componentes
somam zero (integral em
cancela). Só sobra a componente
:
Passo 3
Escrevendo a integral total:
Fatoramos o
:
Note que o termo com
é
simétrico de
a
, e dá zero. Só sobra o
→ integrando
, par.
Passo 4
Calcule o integral em
:
Como depois vamos integrar
simetricamente, usamos
, e
vale de boa.
Passo 5
Agora o integral em
. Só com o termo
:
Separe em duas partes:
-
-
que dá (usando e tabelas)
Chame isto de
. Então
Passo 6
A força sobre a carga
no centro é
. Como só tem
:
com
Resposta
A força sobre a carga
no centro, ao longo do eixo
, é
O sinal “ quando
.