Mostre que
f(x)=x e^-x[theta(x)-theta(x-10)]
onde theta é a função de Heaviside ou função degrau unitário, pertence ao espaço L2.

Passo 1

Beleza, vamos mostrar que
f(x)=x,e^-xl[theta(x)-theta(x-10)r]
está em .
Isso significa que

deve ser finito.
Pra resolver a parada, a gente vai precisar da definição de função de Heaviside (que “liga” e “desliga” em certos intervalos) e do cálculo de integrais, incluindo integração por partes.

Passo 2

Primeiro, a função de Heaviside faz
theta(x)= 0,&x<0, 1,&x>=0,
então f(x)= x,e^-x,&0<= x<10, 0,&caso contrário vale 1 só quando |f|L2^2 =integral-infty^infty|f(x)|^2,dx =integral0^10(x,e^-x)^2,dx =integral0^10x^2,e^-2x,dx , e zero pros outros .
Ou seja
á
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Passo 3

Agora vem a parte de calcular
I =l-tfrac12x^2e^-2xr|0^10 +integral0^102xcdot12e^-2x,dx =-tfrac12l(10^2e^-20-0r) +integral0^10x,e^-2x,dx .
Usamos integração por partes duas vezes.
  1. Seja J =l-tfrac12x,e^-2xr|0^10 +integral0^10tfrac12e^-2x,dx =-tfrac12(10e^-20-0) +tfrac12l-tfrac12e^-2xr|0^10 , . Então , .
  2. Agora .
    Use partes de novo: , , .

Passo 4

Vamos juntar e simplificar:
J =-5e^-20 +tfrac12l(-tfrac12e^-20+tfrac12r) =-5e^-20-tfrac14e^-20+tfrac14 =tfrac14-tfrac214e^-20
Então
I =-tfrac12cdot100,e^-20+J =-50e^-20+l(tfrac14-tfrac214e^-20r) =tfrac14-tfrac2214e^-20
O termo é ridiculamente pequeno, mas o que importa é que é um número finito (aprox.\ ).

Resposta

Como

concluímos que .

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