Determine quais das seguintes funções pertencem ao espaço L2 :
f(x)=e^-x cosh (x) para x >= 0, f(x)=0 caso contrário

Passo 1

Então tá, o enunciado pede pra gente ver se a função
f(x)= e^-xcosh(x),& x>=0, 0,& x<0
é do espaço . Isso é matéria de Análise Funcional ou de Espaços de Lebesgue: você só precisa saber que “estar em ” significa que a integral do quadrado da função é finita. Vamos usar isso direitinho.

Passo 2

O que é pertença a integral-infty^+infty|f(x)|^2,dx?
Por definição, integral-infty^+infty|f|^2 = integral0^inftyl(e^-xcosh xr)^2dx se
Aqui é zero para , então só precisamos olhar em :

Passo 3

Vamos escrever o integrando de um jeito mais fácil. Lembra que
cosh^2x = (e^x + e^-x)^24 = e^2x+2+e^-2x4 = 12 + cosh(2x)2 , então
l(e^-xcosh xr)^2 = e^-2xcosh^2x = e^-2xl(tfrac12 + tfraccosh(2x)2r) = tfrac12 e^-2x + tfrac12,e^-2xcosh(2x)
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Passo 4

Agora separamo em duas integrais:
integral0^infty l(tfrac12 e^-2x + tfrac12 e^-2xcosh(2x)r)dx = tfrac12integral0^infty e^-2xdx + tfrac12integral0^infty e^-2xcosh(2x),dx
A primeira é finita (é uma exponencial), mas a segunda dá problema? Veja que
e^-2xcosh(2x) = tfrac12l(1 + e^-4xr), , então
tfrac12integral0^infty tfrac12,dx + tfrac12integral0^infty tfrac12 e^-4xdx = tfrac14integral0^infty 1,dx + (algo finito)
e a integral fica
Mas é infinito! Portanto a integral de diverge.

Resposta

A função não pertence a , pois
.

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