Determine quais das seguintes funções pertencem ao espaço
:
para
caso contrário
Passo 1
Então tá, o enunciado pede pra gente ver se a função
é do espaço
. Isso é matéria de Análise Funcional ou de Espaços de Lebesgue: você só precisa saber que “estar em
” significa que a integral do quadrado da função é finita. Vamos usar isso direitinho.
Passo 2
O que é pertença a
?
Por definição, se
Por definição,
Aqui
é zero para
, então só precisamos olhar em
:
Passo 3
Vamos escrever o integrando de um jeito mais fácil. Lembra que
, então
Logo
Passo 4
Agora separamo em duas integrais:
A primeira é finita (é uma exponencial), mas a segunda dá problema? Veja que
, então
e a integral fica
Mas
é infinito! Portanto a integral de
diverge.
Resposta
A função
não pertence a
, pois
.