Uma haste metálica apresentou uma constante elástica \boldsymbol{K}=\mathbf{8 4 , 8} \mathbf{N} / \mathbf{m}. A haste tinha um comprimento \boldsymbol{x}=\mathbf{3 6 , 1} \boldsymbol{c m}, uma largura \boldsymbol{L}=\mathbf{9 , 4} \boldsymbol{c m} e uma espessura \boldsymbol{e}=\mathbf{2 , 0} \boldsymbol{m m}. Determine o valor do módulo de elasticidade \boldsymbol{E} do material da haste. Não se esqueça de expressar sua resposta com a devida unidade.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede o que segue:
  • Constante elástica: K = 84,8\\ \mathrm{N/m}.
  • Comprimento da haste: x = 36,1\\ \mathrm{cm}.
  • Largura da seção transversal: L = 9,4\\ \mathrm{cm}.
  • Espessura da seção transversal: e = 2,0\\ \mathrm{mm}.
O que é pedido: determinar o módulo de elasticidade E do material da haste, com a unidade apropriada.

Passo 2

Qual é a relação entre K e E? Vou explicar bem devagarinho, que é fundamental entender para aplicar na prova.
  • Para uma barra submetida a uma força axial, a tensão (stress) é \sigma = \dfrac{F}{A}, onde F é a força aplicada e A é a área da seção transversal.
  • A deformação longitudinal (strain) é \varepsilon = \dfrac{\Delta x}{x}, onde \Delta x é a variação do comprimento e x é o comprimento inicial.
  • A Lei de Hooke no regime elástico linear diz \sigma = E\,\varepsilon, onde E é o módulo de elasticidade (Young).
  • Substituindo \sigma e \varepsilon obtemos \dfrac{F}{A} = E\,\dfrac{\Delta x}{x}. Reorganizando, F = \frac{EA}{x}\,\Delta x.
  • Comparando com a forma da lei de mola F = K\,\Delta x, identificamos a constante: \boxed{K = \frac{EA}{x}}.
Aqui K é a rigidez equivalente da barra, E é o que queremos, A é a área da seção transversal e x é o comprimento inicial. Tudo em unidades do SI (metros, newtons, pascal).

Passo 3

Agora vamos transformar todas as grandezas para o SI (metros, metros quadrados, newtons) — passo essencial para que as contas batam.
  • x = 36,1\\ \mathrm{cm} = 0,361\\ \mathrm{m}.
  • L = 9,4\\ \mathrm{cm} = 0,094\\ \mathrm{m}.
  • e = 2,0\\ \mathrm{mm} = 0,002\\ \mathrm{m}.
  • K já está em \mathrm{N/m}: K = 84,8\\ \mathrm{N/m}.

Passo 4

Calcular a área da seção transversal A. A haste tem seção retangular com largura L e espessura e, logo
A = L\cdot e.
Substituindo os valores (em metros):
A = 0,094\\ \mathrm{m}\times 0,002\\ \mathrm{m} = 0,000188\\ \mathrm{m}^2.

Passo 5

Isolar E na fórmula K=\dfrac{EA}{x}. Temos
E = \frac{K x}{A}.
Agora substituímos os números (todos em SI):
E = \frac{84,8\\ \mathrm{N/m}\times 0,361\\ \mathrm{m}}{0,000188\\ \mathrm{m}^2}.

Passo 6

Fazer as contas passo a passo:
  • Primeiro o numerador: 84,8\times 0,361 = 30,6128\quad(\mathrm{N}).
  • Agora a divisão: E = \frac{30,6128}{0,000188}\\ \mathrm{Pa} = 162834{,}042553\ldots\\ \mathrm{Pa}.

Passo 7

Arredondamento e unidade prática. O valor calculado em pascal é E\approx 162834{,}04\\ \mathrm{Pa}. É comum expressar módulos de elasticidade em megapascais (MPa), onde 1\\ \mathrm{MPa}=10^{6}\\ \mathrm{Pa}. Assim,
E \approx 0,163\\ \mathrm{MPa}.
Considerando os algarismos significativos dos dados (tipicamente 2–3 algarismos), podemos reportar E\approx 1,63\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa} ou E\approx 0,163\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

E \approx 1,63\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}
E \approx 0,163\\ \mathrm{MPa}

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