Um cilindro está circunscrito a uma esfera. Determine as razões da superfície e do volume da esfera para a superfície e o volume do cilindro.

Passo 1

O enunciado pede as razões (frações) entre a superfície da esfera e a superfície do cilindro, e entre o volume da esfera e o volume do cilindro, quando um cilindro está circunscrito a uma esfera. As informações implícitas que vamos usar:
  • Existe uma esfera de raio \,R\,.
  • O cilindro é circular reto e circunscreve a esfera, ou seja, a esfera toca a superfície lateral do cilindro e toca as duas bases do cilindro (topo e fundo).
  • Precisamos obter:
    1. \dfrac{\text{superfície da esfera}}{\text{superfície total do cilindro}}íí.
    2. \dfrac{\text{volume da esfera}}{\text{volume do cilindro}}.

Passo 2

Determinar as dimensões do cilindro em função do raio \,R\, da esfera (pegando isso da geometria do encaixe). Quando a esfera está inscrita no cilindro:
  • O centro da esfera coincide com o centro do cilindro.
  • A esfera toca cada base do cilindro nos polos, portanto a altura do cilindro é igual ao diâmetro da esfera.
    Logo a altura do cilindro é \,h = 2R\,.
  • A esfera toca a superfície lateral do cilindro no “equador”; a distância do centro até essa superfície é o raio da esfera.
    Logo o raio do cilindro é \,r = R\,.

Passo 3

Fórmulas que vamos usar (e o que cada símbolo significa):
  • Superfície total de uma esfera de raio \,R\,: \,S_{\text{esf}} = 4\pi R^{2}\,.
    Explicação curta: essa é a fórmula clássica para área de superfície de uma esfera; R é o raio da esfera e \pi é a constante geométrica usual.
  • Superfície total de um cilindro circular reto de raio \,r\, e altura \,h\,: \,S_{\text{cil}} = 2\pi r h + 2\pi r^{2}\,.
    Explicação: o termo 2\pi r h é a área lateral (a circunferência da base 2\pi r multiplicada pela altura h), e o termo 2\pi r^{2} é a soma das áreas das duas bases (cada base tem área \pi r^{2}, então duas bases somam 2\pi r^{2}). Aqui r é o raio da base do cilindro e h a altura.

Passo 4

Aplicar as fórmulas usando r=R e h=2R.
Calcular a superfície da esfera:
S_{\text{esf}} = 4\pi R^{2}.
Calcular a superfície total do cilindro:
S_{\text{cil}} = 2\pi r h + 2\pi r^{2} = 2\pi R \cdot (2R) + 2\pi R^{2}.
Simplificando:
S_{\text{cil}} = 4\pi R^{2} + 2\pi R^{2} = 6\pi R^{2}.

Passo 5

Agora a razão entre as superfícies:
\frac{S_{\text{esf}}}{S_{\text{cil}}} = \frac{4\pi R^{2}}{6\pi R^{2}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.
Observação: os fatores \pi e R^{2} cancelam, por isso a razão é independente do tamanho da esfera.

Passo 6

Fórmulas de volume que vamos usar (e o que cada símbolo significa):
  • Volume da esfera de raio \,R\,: \,V_{\text{esf}} = \dfrac{4}{3}\pi R^{3}\,.
    Explicação: fórmula clássica; R é o raio.
  • Volume do cilindro de raio \,r\, e altura \,h\,: \,V_{\text{cil}} = \pi r^{2} h\,.
    Explicação: área da base \pi r^{2} vezes a altura h.

Passo 7

Aplicar as fórmulas de volume com r=R e h=2R.
Calcular o volume do cilindro:
V_{\text{cil}} = \pi R^{2}\cdot(2R) = 2\pi R^{3}.
Calcular o volume da esfera:
V_{\text{esf}} = \dfrac{4}{3}\pi R^{3}.

Passo 8

Agora a razão entre os volumes:
\frac{V_{\text{esf}}}{V_{\text{cil}}} = \frac{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}{2\pi R^{3}} = \frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.
Novamente \pi e R^{3} cancelam, razão independente de R.

Resposta

\dfrac{2}{3}
\dfrac{2}{3}

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