Um cilindro está circunscrito a uma esfera. Determine as razões da superfície e do volume da esfera para a superfície e o volume do cilindro.
Passo 1
O enunciado pede as razões (frações) entre a superfície da esfera e a superfície do cilindro, e entre o volume da esfera e o volume do cilindro, quando um cilindro está circunscrito a uma esfera. As informações implícitas que vamos usar:
- Existe uma esfera de raio
. - O cilindro é circular reto e circunscreve a esfera, ou seja, a esfera toca a superfície lateral do cilindro e toca as duas bases do cilindro (topo e fundo).
- Precisamos obter:
-
. -
.
-
Passo 2
Determinar as dimensões do cilindro em função do raio
da esfera (pegando isso da geometria do encaixe). Quando a esfera está inscrita no cilindro:
- O centro da esfera coincide com o centro do cilindro.
- A esfera toca cada base do cilindro nos polos, portanto a altura do cilindro é igual ao diâmetro da esfera.
Logo a altura do cilindro é. - A esfera toca a superfície lateral do cilindro no “equador”; a distância do centro até essa superfície é o raio da esfera.
Logo o raio do cilindro é.
Passo 3
Fórmulas que vamos usar (e o que cada símbolo significa):
- Superfície total de uma esfera de raio
: .
Explicação curta: essa é a fórmula clássica para área de superfície de uma esfera;é o raio da esfera e é a constante geométrica usual. - Superfície total de um cilindro circular reto de raio
e altura : .
Explicação: o termoé a área lateral (a circunferência da base multiplicada pela altura ), e o termo é a soma das áreas das duas bases (cada base tem área , então duas bases somam ). Aqui é o raio da base do cilindro e a altura.
Passo 4
Aplicar as fórmulas usando
e
.
Calcular a superfície da esfera:
Calcular a superfície total do cilindro:
Simplificando:
Passo 5
Agora a razão entre as superfícies:
Observação: os fatores
e
cancelam, por isso a razão é independente do tamanho da esfera.
Passo 6
Fórmulas de volume que vamos usar (e o que cada símbolo significa):
- Volume da esfera de raio
: .
Explicação: fórmula clássica;é o raio. - Volume do cilindro de raio
e altura : .
Explicação: área da basevezes a altura .
Passo 7
Aplicar as fórmulas de volume com
e
.
Calcular o volume do cilindro:
Calcular o volume da esfera:
Passo 8
Agora a razão entre os volumes:
Novamente
e
cancelam, razão independente de
.