Determine a razāo entre o volume de um cilindro equilátero circunscrito e o volume de um cilindro equilátero inscrito em uma esfera.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar a razão entre o volume de um cilindro equilátero circunscrito a uma esfera e o volume de um cilindro equilátero inscrito nessa mesma esfera.
Informações relevantes dadas ou implicadas:
- Há uma esfera de raio
, (usa-se como medida da esfera). - “Cilindro equilátero” significa que a altura do cilindro é igual ao diâmetro da base. Se
é o raio da base do cilindro e a altura, então para um cilindro equilátero vale
- Vamos trabalhar com cilindros retos e coaxiais com a esfera (ou seja, eixo do cilindro passa pelo centro da esfera), padrão clássico para cilindros inscritos/circunscritos.
Passo 2
Fórmula do volume de um cilindro e aplicação ao cilindro circunscrito:
- Recordando a fórmula do volume de um cilindro circular reto: se
é o raio da base e a altura, então o volume é
- Para o cilindro equilátero circunscrito à esfera: o cilindro deve conter a esfera inteira. O menor cilindro circunscrito e coaxial tem raio da base igual ao raio da esfera e altura igual ao diâmetro da esfera. Logo, para o cilindro circunscrito temos
- Substituindo na fórmula do volume:
Passo 3
Geometria do cilindro equilátero inscrito na esfera — relação entre raio e altura:
- Um cilindro inscrito coaxialmente em uma esfera de raio
tem as extremidades do eixo a uma distância do centro (metade da altura). Se a altura for , então . Pela simetria, a aresta do círculo da base do cilindro está sobre a esfera e, portanto, o triângulo reto formado pelo raio da base , pelo semi-eixo e pelo raio da esfera satisfaz o teorema de Pitágoras:
- Para o cilindro equilátero inscrito vale
, logo . Substituindo na relação anterior:
- Assim o raio da base do cilindro inscrito equilátero é
e a altura é
Passo 4
Calcular o volume do cilindro equilátero inscrito:
- Usando a fórmula do volume com
e :
Passo 5
Razão entre os volumes (cilindro circunscrito dividido pelo cilindro inscrito):
- Dividindo
por :
- Chegamos a uma expressão independente de
, como era de esperar: a razão é uma constante.
Passo 6
Comentário final rápido (estímulo):
- Pronto — deu certo! A razão é
(aproximadamente ), ou seja, o cilindro equilátero circunscrito tem cerca de vezes o volume do cilindro equilátero inscrito. Boa — você segurou bem a geometria e as contas!