Determine a razāo entre o volume de um cilindro equilátero circunscrito e o volume de um cilindro equilátero inscrito em uma esfera.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a razão entre o volume de um cilindro equilátero circunscrito a uma esfera e o volume de um cilindro equilátero inscrito nessa mesma esfera.
Informações relevantes dadas ou implicadas:
  • Há uma esfera de raio \,R, (usa-se R>0 como medida da esfera).
  • “Cilindro equilátero” significa que a altura do cilindro é igual ao diâmetro da base. Se r é o raio da base do cilindro e h a altura, então para um cilindro equilátero vale
h = 2r.
  • Vamos trabalhar com cilindros retos e coaxiais com a esfera (ou seja, eixo do cilindro passa pelo centro da esfera), padrão clássico para cilindros inscritos/circunscritos.

Passo 2

Fórmula do volume de um cilindro e aplicação ao cilindro circunscrito:
  • Recordando a fórmula do volume de um cilindro circular reto: se r é o raio da base e h a altura, então o volume é
V = \pi r^{2} h.
  • Para o cilindro equilátero circunscrito à esfera: o cilindro deve conter a esfera inteira. O menor cilindro circunscrito e coaxial tem raio da base igual ao raio da esfera e altura igual ao diâmetro da esfera. Logo, para o cilindro circunscrito temos
r_{\text{c}} = R, \qquad h_{\text{c}} = 2R.
  • Substituindo na fórmula do volume:
V_{\text{c}} = \pi r_{\text{c}}^{2} h_{\text{c}} = \pi R^{2}\cdot(2R) = 2\pi R^{3}.

Passo 3

Geometria do cilindro equilátero inscrito na esfera — relação entre raio e altura:
  • Um cilindro inscrito coaxialmente em uma esfera de raio R tem as extremidades do eixo a uma distância z do centro (metade da altura). Se a altura for h, então z = h/2. Pela simetria, a aresta do círculo da base do cilindro está sobre a esfera e, portanto, o triângulo reto formado pelo raio da base r, pelo semi-eixo z e pelo raio da esfera R satisfaz o teorema de Pitágoras:
r^{2} + z^{2} = R^{2}.
  • Para o cilindro equilátero inscrito vale h = 2r, logo z = h/2 = r. Substituindo z=r na relação anterior:
r^{2} + r^{2} = R^{2} \quad\Rightarrow\quad 2r^{2} = R^{2} \quad\Rightarrow\quad r^{2} = \frac{R^{2}}{2}.
  • Assim o raio da base do cilindro inscrito equilátero é
r_{\text{i}} = \frac{R}{\sqrt{2}}
e a altura é
h_{\text{i}} = 2r_{\text{i}} = 2\cdot\frac{R}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\,R.

Passo 4

Calcular o volume do cilindro equilátero inscrito:
  • Usando a fórmula do volume com r_{\text{i}} e h_{\text{i}}:
V_{\text{i}} = \pi r_{\text{i}}^{2} h_{\text{i}} = \pi\left(\frac{R^{2}}{2}\right)\left(\sqrt{2}\,R\right) = \pi R^{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi R^{3}}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Razão entre os volumes (cilindro circunscrito dividido pelo cilindro inscrito):
  • Dividindo V_{\text{c}} por V_{\text{i}}:
\frac{V_{\text{c}}}{V_{\text{i}}} = \frac{2\pi R^{3}}{\dfrac{\pi R^{3}}{\sqrt{2}}} = 2\cdot\sqrt{2} = 2\sqrt{2}.
  • Chegamos a uma expressão independente de R, como era de esperar: a razão é uma constante.

Passo 6

Comentário final rápido (estímulo):
  • Pronto — deu certo! A razão é \,2\sqrt{2}\, (aproximadamente \,2{,}828), ou seja, o cilindro equilátero circunscrito tem cerca de 2{,}828 vezes o volume do cilindro equilátero inscrito. Boa — você segurou bem a geometria e as contas!

Resposta

2\sqrt{2}

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