Um cilindro coaxial possui uma densidade volumétrica uniforme de carga rho no cilindro interno (raio a), e uma densidade superficial de carga sigma na casca externa do cilindro (raio b). Essa carga é negativa para que o cabo seja eletricamente neutro. Usando a Lei de Gauss, e ncontre o campo elétrico em cada uma das três regiões: (a) r<a, (b) a e © r>b

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos um “fio” coaxial (dois cilindros concêntricos) com:
  • densidade volumétrica de carga rho no cilindro interno de raio a,
  • densidade superficial de carga sigma na casca externa de raio b.
Pede pra gente usar a Lei de Gauss e achar o campo elétrico E(r) em cada região:
(a) r,
(b) a,
© r>b.
Conteúdo: eletrostática, Lei de Gauss e simetria cilíndrica.
O que precisamos:
  1. Escrever a Lei de Gauss em coordenadas cilíndricas,
  2. Calcular a carga “encapsulada” para um cilindro imaginário de comprimento L e raio genérico r,
  3. Usar a área lateral A=2pi rL para resolver oint Ecdot dA.

Passo 2

Região r
  1. Escolho um cilindro gaussiano de raio r (com r) e comprimento L.
  2. Carga dentro dele: Qrm enc=rhocdot (volume)=rho;l(pi r^2Lr),
    3. Lei de Gauss:
    $$\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E®,2\pi rL=\frac{Q_{\rm enc}}{\varepsilon_0}=\frac{\rho,\pi r^2L}{\varepsilon_0},. oint Ecdot dA=E(r),2pi rL=Qrm encvarepsilon0 =rho,pi r^2Lvarepsilon0, E®=\frac{\rho,\pi r^2L}{\varepsilon_0,2\pi rL}
        =\frac{\rho\,r}{2\varepsilon_0}\,.$$  
    
  3. Em vetor (radial): E(r)

Passo 3

Região a
  1. Agora o cilindro gaussiano de raio r engloba TODA carga volumétrica interna, mas não toca a casca externa.
  2. Carga capturada:$$Q_{\rm enc}=\rho;(volume atéa)=\rho,\pi a^2L,. Qrm enc=rho;(volume até a) =rho,pi a^2L, E®,2\pi rL=\frac{\rho,\pi a^2L}{\varepsilon_0},. $$
  3. Logo$$E®=\frac{\rho,\pi a^2L}{\varepsilon_0,2\pi rL}
        =\frac{\rho\,a^2}{2\varepsilon_0\,r}\,. $$  
    
  4. Em vetor:$$\boxed{\mathbf{E}®=\frac{\rho,a^2}{2\varepsilon_0,r},\hat{\mathbf{r}}\quad(a<r<b).}$$

Passo 4

Região r>b
  1. O cilindro gaussiano com raio r>b engloba tanto a carga volumétrica interna quanto a carga superficial da casca.
  2. Como o enunciado diz que o cabo é eletricamente neutro, a carga total por comprimento L é zero: Qrm enc= rho,pi a^2L ;+;sigma,(2pi bL)=0,
    (Dessa igualdade, se quiser, dá pra achar sigma=-rho,a^22b, mas o importante é Qrm enc=0.)
    3. Então pela Lei de Gauss:
    $$E®,2\pi rL=\frac{0}{\varepsilon_0}=0\quad\Longrightarrow\quad E®=0,. E(r),2pi rL=0varepsilon0=0 Longrightarrow E(r)=0, \boxed{\mathbf{E}®=0\quad(r>b).}$$

Resposta

Assim, o campo elétrico em cada região vale:
E(r)= dfracrho,r2varepsilon0,r,& rb

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