Um cilindro coaxial possui uma densidade volumétrica uniforme de carga
no cilindro interno (raio a), e uma densidade superficial de carga
na casca externa do cilindro (raio b). Essa carga é negativa para que o cabo seja eletricamente neutro. Usando a Lei de Gauss, e ncontre o campo elétrico em cada uma das três regiões: (a) r<a, (b)
e ©
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos um “fio” coaxial (dois cilindros concêntricos) com:
- densidade volumétrica de carga
no cilindro interno de raio , - densidade superficial de carga
na casca externa de raio .
Pede pra gente usar a Lei de Gauss e achar o campo elétrico
em cada região:
(a) ,
(b) ,
© .
(a)
(b)
©
Conteúdo: eletrostática, Lei de Gauss e simetria cilíndrica.
O que precisamos:
O que precisamos:
- Escrever a Lei de Gauss em coordenadas cilíndricas,
- Calcular a carga “encapsulada” para um cilindro imaginário de comprimento
e raio genérico , - Usar a área lateral
para resolver .
Passo 2
Região
- Escolho um cilindro gaussiano de raio
(com ) e comprimento . - Carga dentro dele:
3. Lei de Gauss:
$$\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E®,2\pi rL=\frac{Q_{\rm enc}}{\varepsilon_0}=\frac{\rho,\pi r^2L}{\varepsilon_0},.E®=\frac{\rho,\pi r^2L}{\varepsilon_0,2\pi rL} =\frac{\rho\,r}{2\varepsilon_0}\,.$$
- Em vetor (radial):
Passo 3
Região
- Agora o cilindro gaussiano de raio
engloba TODA carga volumétrica interna, mas não toca a casca externa. - Carga capturada:$$Q_{\rm enc}=\rho;(volume atéa)=\rho,\pi a^2L,.
E®,2\pi rL=\frac{\rho,\pi a^2L}{\varepsilon_0},. $$ - Logo$$E®=\frac{\rho,\pi a^2L}{\varepsilon_0,2\pi rL}
=\frac{\rho\,a^2}{2\varepsilon_0\,r}\,. $$
- Em vetor:$$\boxed{\mathbf{E}®=\frac{\rho,a^2}{2\varepsilon_0,r},\hat{\mathbf{r}}\quad(a<r<b).}$$
Passo 4
Região
- O cilindro gaussiano com raio
engloba tanto a carga volumétrica interna quanto a carga superficial da casca. - Como o enunciado diz que o cabo é eletricamente neutro, a carga total por comprimento
é zero:
(Dessa igualdade, se quiser, dá pra achar, mas o importante é .)
3. Então pela Lei de Gauss:
$$E®,2\pi rL=\frac{0}{\varepsilon_0}=0\quad\Longrightarrow\quad E®=0,.\boxed{\mathbf{E}®=0\quad(r>b).}$$
Resposta
Assim, o campo elétrico em cada região vale: