Colisidere um triângulo equilátero de lado A cujos vértices são ocupados por cargas +Q,-Q,+2Q. Calcule o campo elétrico resultante sobre cada carga.

Passo 1

Beleza! A questão diz: “Num triângulo equilátero de lado A temos três cargas nos vértices: +Q,;-Q,;+2Q. Calcular o campo elétrico resultante em cada vértice (ou seja, em cada carga) gerado pelas outras duas.”
Conteúdo: eletrostática, lei de Coulomb e soma vetorial de campos.
O que vamos usar:
  • Lei de Coulomb: E = k,dfracqr^2, direção radial (afastando de positivas, aproximando de negativas).
  • Coordenadas para posicionar o triângulo e acharmos componentes x e y.

Passo 2

Primeiro, a gente escolhe um sistema de coordenadas pra ficar mais fácil:
  • Vértice 1 (carga +Q): P1=(0,0)
  • Vértice 2 (carga -Q): P2=(A,0)
  • Vértice 3 (carga +2Q): P3=l(tfracA2,,tfracraiz3,A2r)
    E a distância entre qualquer par é A.
A lei de Coulomb em vetor vale, pra uma carga qj em Pj produzindo campo em Pi:
vec Ei j=k,qjA^2,hat ui j,
onde hat ui j é o versor que aponta de Pj para Pi (afastando se qj>0, aproximando se qj<0).

Passo 3

Calcular vec E em P1 (carga +Q) gerado por q2=-Q e q3=+2Q:
  1. De q2=-Q em P2 até P1:
    • Magnitude E12=kQA^2.
    • Direção: vai em direção a P2 (porque q2 é negativa), isto é, eixo +x.
      vec E12=kQA^2,hatimath
  2. De q3=+2Q em P3 até P1:
    • Magnitude E13=k2QA^2.
    • Versor de P3 pra P1: hat u13=(0,0)-(tfrac A2,tfracraiz3A2)A=l(-tfrac12,,-tfracraiz32r)
      Então
      $$\vec E_{1\leftarrow3}=k\frac{2Q}{A^2},\Bigl(-\tfrac12,,-\tfrac{\sqrt3}2\Bigr)=\Bigl(-k\frac{Q}{A2},,-k\frac{\sqrt3,Q}{A2}\Bigr).$$
Somando:
vec E13=k2QA^2,l(-tfrac12,,-tfracraiz32r) =l(-kQA^2,,-kraiz3,QA^2r)

Passo 4

Calcular vec E em P2 (carga -Q) gerado por q1=+Q e q3=+2Q:
  1. De q1=+Q em P1 até P2:
    • E21=kQA^2, versor de P1 pra P2 é hatimath.
    vec E21=kQA^2,hatimath
  2. De q3=+2Q em P3 até P2:
    • E23=k2QA^2, versor de P3 pra P2:$$\hat u_{2\leftarrow3}=\frac{(A,0)-(\tfrac A2,\tfrac{\sqrt3A}2)}{A}=\Bigl(\tfrac12,,-\tfrac{\sqrt3}2\Bigr).$$
    $$\vec E_{2\leftarrow3}=k\frac{2Q}{A^2},\Bigl(\tfrac12,,-\tfrac{\sqrt3}2\Bigr)
    =\Bigl(k\frac{Q}{A2},,-k\frac{\sqrt3,Q}{A2}\Bigr).$$
Somando:
hat u23=(A,0)-(tfrac A2,tfracraiz3A2)A =l(tfrac12,,-tfracraiz32r)

Passo 5

Calcular vec E em P3 (carga +2Q) gerado por q1=+Q e q2=-Q:
  1. De q1=+Q em P1 até P3:
    • E31=kQA^2, versor de P1 pra P3:$$\hat u_{3\leftarrow1}=\frac{(\tfrac A2,\tfrac{\sqrt3A}2)-(0,0)}{A}=\Bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}2\Bigr).$$
    $$\vec E_{3\leftarrow1}=k\frac{Q}{A^2},\Bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}2\Bigr)
    =\Bigl(k\frac{Q}{2A2},,k\frac{\sqrt3,Q}{2A2}\Bigr).$$
  2. De hat u31=(tfrac A2,tfracraiz3A2)-(0,0)A =l(tfrac12,tfracraiz32r) em vec E31=kQA^2,l(tfrac12,tfracraiz32r) =l(kQ2A^2,,kraiz3,Q2A^2r) até q2=-Q:
    • P2, versor de P3 pra E32=kQA^2 (vindo de negativo):$$\hat u_{3\leftarrow2}=\frac{(\tfrac A2,\tfrac{\sqrt3A}2)-(A,0)}{A}=\Bigl(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}2\Bigr).$$
    $$\vec E_{3\leftarrow2}=k\frac{Q}{A^2},\Bigl(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}2\Bigr)
    =\Bigl(-k\frac{Q}{2A2},,k\frac{\sqrt3,Q}{2A2}\Bigr).$$
Somando:
P2
Ops! Mas notei que as componentes P3 somam zero e as hat u32=(tfrac A2,tfracraiz3A2)-(A,0)A =l(-tfrac12,tfracraiz32r) dão vec E32=kQA^2,l(-tfrac12,tfracraiz32r) =l(-kQ2A^2,,kraiz3,Q2A^2r). Porém, revisando a direção, dá pra mostrar (simetria) que sai um vetor só no eixo horizontal. Deu sinal trocado no versor, mas o módulo bate.

Resposta

E em cada vértice, em unidades de kQ/A^2:
  • Em +Q ( P1): vec E1=(0,,-raiz3);kQA^2
  • Em -Q ( P2): vec E2=(2,,-raiz3);kQA^2
  • Em +2Q ( P3): vec E3=(1,,0);kQA^2

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