Doze cargas iguais,
, estão situadas nos cantos de um polígono regular de 12 lados. Qual campo elétrico e o potencial elétrico?
Passo 1
Beleza, o exercício diz que temos doze cargas iguais, cada uma com carga
, nos vértices de um polígono regular de 12 lados. A pergunta é: qual o campo elétrico
e qual o potencial elétrico
no centro desse polígono?
Conteúdo: eletrostática básica (lei de Coulomb), superposição de campos e potencial, simetria.
O que vamos precisar:
• Lei de Coulomb para o campo de uma carga pontual:
.
• Expressão do potencial de uma carga puntiforme:
.
• Princípio da superposição (somar vetorialmente e somar escalarmente
).
• Reconhecer que pela simetria, alguns somatórios simplificam.
Conteúdo: eletrostática básica (lei de Coulomb), superposição de campos e potencial, simetria.
O que vamos precisar:
• Lei de Coulomb para o campo de uma carga pontual:
• Expressão do potencial de uma carga puntiforme:
• Princípio da superposição (somar vetorialmente
• Reconhecer que pela simetria, alguns somatórios simplificam.
Para facilitar, vamos chamar de
a distância do centro do polígono até cada vértice (circun‐raio).
Passo 2
Campo elétrico por superposição e simetria
- Pela lei de Coulomb, o campo gerado por uma carga
no centro tem módulo e aponta na direção que vai da carga ao centro (um vetor apontando para dentro ou para fora, dependendo do sinal de ). - Como temos 12 cargas idênticas dispostas com ângulos de
entre elas, cada vetor está girado de 30° em relação ao próximo. - Se você somar vetores iguais espaçados uniformemente em 360°, o resultado é zero (em outras palavras, eles “se cancelam” por simetria).
Logo, o campo total no centro é
Passo 3
Potencial elétrico por superposição
- Diferente do campo, o potencial é uma grandeza escalar. O potencial devido a cada carga é
- Como é escalar, somamos simplesmente 12 vezes esse valor:
Resposta
Campo elétrico no centro:
.
Potencial elétrico no centro: