Doze cargas iguais, q, estão situadas nos cantos de um polígono regular de 12 lados. Qual campo elétrico e o potencial elétrico?

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos doze cargas iguais, cada uma com carga , nos vértices de um polígono regular de 12 lados. A pergunta é: qual o campo elétrico e qual o potencial elétrico no centro desse polígono?
Conteúdo: eletrostática básica (lei de Coulomb), superposição de campos e potencial, simetria.
O que vamos precisar:
• Lei de Coulomb para o campo de uma carga pontual:
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• Expressão do potencial de uma carga puntiforme:
.
• Princípio da superposição (somar vetorialmente e somar escalarmente ).
• Reconhecer que pela simetria, alguns somatórios simplificam.
Para facilitar, vamos chamar de a distância do centro do polígono até cada vértice (circun‐raio).

Passo 2

Campo elétrico por superposição e simetria
  1. Pela lei de Coulomb, o campo gerado por uma carga E1 = k,qR^2 no centro tem módulo boxedvec E = vec 0 e aponta na direção que vai da carga ao centro (um vetor apontando para dentro ou para fora, dependendo do sinal de ).
  2. Como temos 12 cargas idênticas dispostas com ângulos de entre elas, cada vetor está girado de 30° em relação ao próximo.
  3. Se você somar vetores iguais espaçados uniformemente em 360°, o resultado é zero (em outras palavras, eles “se cancelam” por simetria).
Logo, o campo total no centro é

Passo 3

Potencial elétrico por superposição
  1. Diferente do campo, o potencial é uma grandeza escalar. O potencial devido a cada carga é V1 = k,qR
  2. Como é escalar, somamos simplesmente 12 vezes esse valor: V = sumi=1^12 V1 = 12 ,l(k,tfracqRr) = 12,k,qR

Resposta

Campo elétrico no centro:
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Potencial elétrico no centro:

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