Um cilindro comprido, com seu eixo orientado na direção O z, possui uma densidade de corrente J. A densidade de corrente, embora seja simétrica em relação ao eixo do cilindro, não é constante e varia de acordo com a relação

em que J & =2 I0pi a^2[1-(ra)^2] k & & para r <= a & =0 & & para r >= a é o raio de cilindro, a é a distância radial entre o ponto considerado e o eixo do cilindro e r é uma constante dada em ampères. Usando a lei de Ampère, deduza uma expressão para o módulo do campo magnético I0 na região B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado tá falando de um cilindro longo com eixo ao longo de Oz e uma densidade de corrente vec J(r)= dfrac2I0pi a^2l[1-l(tfrac r ar)^2r]hat k ¶ r<= a,[6pt] 0¶ r>= a que depende de (distância ao eixo) assim:
A pergunta é: usando a Lei de Ampère, qual é o módulo do campo para ?
Conteúdo: magnetostática, Lei de Ampère em simetria cilíndrica. Vamos precisar de
  1. calcular a corrente total passando no interior do raio , integrando sobre a seção transversal;
  2. usar para um amperiano circular de raio .

Passo 2

Calcular a corrente total Irm enc =integralr=0^aJ(r),dA =integral0^a2I0pi a^2l[1-(tfrac ra)^2r],(2pi r,dr) (ela vai ser igual a Irm enc =2I0pi a^2,2piintegral0^al[r - r^3a^2r]dr =4I0a^2l[r^22-r^44a^2r]0^a =4I0a^2l(a^22-a^24r) =;I0 , mas vamos mostrar):
A corrente dentro do raio é
Fazendo as contas:

Passo 3

Agora aplicamos a Lei de Ampère num caminho circular de raio ointvec Bcdot dvecell =B,(2pi r) =mu0,Irm enc =mu0 I0 . Por simetria, B(r);=;mu0 I02pi r, para r>= a é tangencial e tem módulo constante ao longo do círculo, então
Dessa forma

Resposta

boxed,B(r)=mu0,I02pi,r(hatphi)para r>= a!

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