Um cilindro de aço (
, diâmetro de 1 cm e comprimento de 10 cm ) está inicialmente a
. O cilindro é imerso em um banho cujo líquido está a
). Considere o
e a
. Calcule a temperatura no centro e na superfície do sólido após 2 min e o calor transferido no intervalo de tempo.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem um cilindro de aço (k=35 W/m·K) com diâmetro 1 cm e comprimento 10 cm, inicialmente a 250 °C. Ele é mergulhado num banho a 30 °C com coeficiente de convecção h=280,5 W/m²·°C. Também temos cₚ=460 J/kg·°C e ρ=7800 kg/m³.
Conteúdo: transferência de calor transiente por condução e convecção (modelo de “lumped capacitance”), Newton do resfriamento, Biot número.
O que vamos precisar:
• Calcular o número de Biot para ver se dá pra tratar o cilindro com temperatura uniforme.
• Se der, usar a equação do resfriamento em regime transiente:
Conteúdo: transferência de calor transiente por condução e convecção (modelo de “lumped capacitance”), Newton do resfriamento, Biot número.
O que vamos precisar:
• Calcular o número de Biot para ver se dá pra tratar o cilindro com temperatura uniforme.
• Se der, usar a equação do resfriamento em regime transiente:
• Calcular a área de troca A, o volume V, a massa m=ρV e achar T(t).
• Depois achar o calor trocado Q = m cₚ (T_i − T(t)).
• Depois achar o calor trocado Q = m cₚ (T_i − T(t)).
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o cilindro se comporta como “lumped capacitance”. Para isso, calculamos o número de Biot:
onde
é o tamanho característico. Para um cilindro radial,
.
R = diâmetro/2 = 0,01 m/2 = 0,005 m.
R = diâmetro/2 = 0,01 m/2 = 0,005 m.
Como
, a suposição de temperatura uniforme vale e podemos usar o método lumped.
Passo 3
Agora calculamos área de troca A, volume V e a “capacidade térmica” m cₚ:
• Área (lateral mais tampas):
• Área (lateral mais tampas):
• Volume:
• Massa:
.
• Capacidade térmica:
• Capacidade térmica:
Passo 4
Aplicando a equação do resfriamento:
Substituindo:
Para
s:
Como a temperatura é uniforme, centro e superfície ficam em ~34,3 °C.
Passo 5
O calor cedido pelo cilindro ao banho no intervalo é
Resposta
Temperatura no centro e na superfície após 2 min: 34,3 °C (ambas iguais).
Calor transferido no intervalo: 6,08 kJ.
Calor transferido no intervalo: 6,08 kJ.