Um cilindro de aço ( k=35 W / m K, diâmetro de 1 cm e comprimento de 10 cm ) está inicialmente a 250^circ C. O cilindro é imerso em um banho cujo líquido está a 30^circ C(h= 280,5 W / m^2 ^circ C ). Considere o cpp=460 J / kg ^circ C e a rho=7800 kg / m^3. Calcule a temperatura no centro e na superfície do sólido após 2 min e o calor transferido no intervalo de tempo.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um cilindro de aço (k=35 W/m·K) com diâmetro 1 cm e comprimento 10 cm, inicialmente a 250 °C. Ele é mergulhado num banho a 30 °C com coeficiente de convecção h=280,5 W/m²·°C. Também temos cₚ=460 J/kg·°C e ρ=7800 kg/m³.
Conteúdo: transferência de calor transiente por condução e convecção (modelo de “lumped capacitance”), Newton do resfriamento, Biot número.
O que vamos precisar:
• Calcular o número de Biot para ver se dá pra tratar o cilindro com temperatura uniforme.
• Se der, usar a equação do resfriamento em regime transiente:
T(t)=Tinfty + (Ti-Tinfty),exp!(-h,Arho,V,cp,t)
• Calcular a área de troca A, o volume V, a massa m=ρV e achar T(t).
• Depois achar o calor trocado Q = m cₚ (T_i − T(t)).

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o cilindro se comporta como “lumped capacitance”. Para isso, calculamos o número de Biot:
Bi = h,Lck,
onde Bi = 280,5;times;0,00535 approx 0,0401 é o tamanho característico. Para um cilindro radial, .
R = diâmetro/2 = 0,01 m/2 = 0,005 m.
Como , a suposição de temperatura uniforme vale e podemos usar o método lumped.

Passo 3

Agora calculamos área de troca A, volume V e a “capacidade térmica” m cₚ:
• Área (lateral mais tampas):
A = 2pi R L + 2pi R^2 =2pi,(0,005)(0,10)+2pi,(0,005)^2 approx0,00330;m^2
• Volume:
V = pi R^2 L = pi,(0,005)^2(0,10) approx7,85times10^-6;m^3
• Massa: m,cp approx0,0613times460approx28,2;J/°C .
• Capacidade térmica:

Passo 4

Aplicando a equação do resfriamento:
T(t)=Tinfty + (Ti-Tinfty),exp!(-h,Am,cp,t)
Substituindo:
h,Am,cp =280,5times0,0033028,2 approx0,0328;s^-1
Para T(120)=30 + (250-30),exp(-0,0328times120) =30 + 220,e^-3,936 approx30 + 220times0,0195 approx34,3;°C s:
Como a temperatura é uniforme, centro e superfície ficam em ~34,3 °C.

Passo 5

O calor cedido pelo cilindro ao banho no intervalo é
Q = m,cp,(Ti - T(t)) =28,2,(250 - 34,3) approx28,2times215,7 approx6,08times10^3;J

Resposta

Temperatura no centro e na superfície após 2 min: 34,3 °C (ambas iguais).
Calor transferido no intervalo: 6,08 kJ.

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