Um cilindro condutor muito longo (comprimento L) possui carga total +q e está envolto por uma capa cilíndrica condutora, de mesmo comprimento, de carga total
. Determine, utilizando a lei de Gauss: a) o campo elétrico resultante em pontos externos à capa condutora; b) a distribuição de cargas na capa condutora; c) o campo elétrico entre os cilindros. R: a)
, para dentro; b) -q ; c)
, para fora.
Passo 1
Então, temos um exercício de eletrostática envolvendo um cilindro condutor muito longo com carga total $ +q $ e uma capa cilíndrica condutora ao redor com carga total $ -2q $. Vamos usar a Lei de Gauss para determinar:
a) O campo elétrico externo à capa condutora.
b) A distribuição de cargas na capa condutora.
c) O campo elétrico entre os cilindros.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a Lei de Gauss funciona para simetrias cilíndricas e como as cargas se distribuem em condutores.
Passo 2
Vamos começar com a parte a): encontrar o campo elétrico em pontos externos à capa condutora.
Primeiro, a Lei de Gauss nos ajuda a calcular o campo elétrico quando temos simetria, como neste caso cilíndrico. A ideia é imaginar uma superfície gaussiana que seja um cilindro concêntrico com os condutores.
Como queremos o campo fora da capa, consideramos uma superfície gaussiana com raio $ r $ maior que o raio da capa. A carga total dentro dessa superfície é a soma das cargas do cilindro interno e da capa:
Agora, aplicamos a Lei de Gauss:
Devido à simetria, o campo elétrico $ \mathbf{E} $ é radial e constante em magnitude na superfície gaussiana, então:
Desse jeito, isolamos $ E $:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b): determinar a distribuição de cargas na capa condutora.
Em condutores em equilíbrio eletrostático, as cargas livres se movem para a superfície. No nosso caso, temos uma capa com carga total $ -2q $. Precisamos ver como essa carga se distribui.
Como o cilindro interno tem carga $ +q $, a capa interna da capa cilíndrica vai ter uma carga induzida igual e oposta, ou seja, $ -q $. Isso é para neutralizar o campo elétrico dentro do condutor da capa.
A carga restante na capa externa será:
Então, a distribuição de cargas na capa é:
- Superfície interna: $ -q $
- Superfície externa: $ -q $
Passo 4
Finalmente, vamos para a parte c): encontrar o campo elétrico entre os cilindros.
Aqui, consideramos uma superfície gaussiana com raio $ r $ entre o cilindro interno e a capa. A carga dentro dessa superfície é apenas a do cilindro interno $ +q $, já que a carga na superfície interna da capa cancela o campo do cilindro interno dentro do condutor.
Aplicando a Lei de Gauss novamente:
Isolando $ E $:
Resposta
a) $ E = -\dfrac{q}{2 \pi \varepsilon_{0} r L} $
b) A distribuição de cargas na capa é $ -q $ na superfície interna e $ -q $ na superfície externa.
c) $ E = \dfrac{q}{2 \pi \varepsilon_{0} r L} $