Um cilindro condutor muito longo (comprimento L ) possui carga total +q e está envolto por uma capa cilíndrica condutora, de mesmo comprimento, de carga total -2q. Determine, utilizando a lei de Gauss: a) o campo elétrico resultante em pontos externos à capa condutora; b) a distribuição de cargas na capa condutora; c) o campo elétrico entre os cilindros. R: a) -q/(20rL), para dentro; b) -q ; c) q /(20 rL), para fora.

Passo 1

Vamos entender o que a questão nos pede. Temos um cilindro condutor muito longo de comprimento $ L $ com carga total $ +q $, envolto por uma capa cilíndrica condutora também de comprimento $ L $ e com carga total $ -2q $. Vamos utilizar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga encerrada, para determinar:
a) O campo elétrico fora da capa condutora;
b) A distribuição de cargas na capa condutora;
c) O campo elétrico entre os cilindros.
Para resolver, precisaremos aplicar a Lei de Gauss e entender como as cargas se distribuem em condutores.

Passo 2

Começamos analisando a parte a) da questão: determinar o campo elétrico fora da capa condutora. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que diz:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Onde $ \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} $ é o fluxo elétrico através de uma superfície fechada, $ Q_{enc} $ é a carga total dentro dessa superfície e $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo.
Como estamos procurando o campo fora da capa, vamos considerar uma superfície gaussiana cilíndrica de raio $ r $ maior que o raio da capa. A carga total dentro dessa superfície é $ +q + (-2q) = -q $.

Passo 3

Calculando o fluxo elétrico da Lei de Gauss:
oint E cdot dA = E cdot (2pi r L) = -qvarepsilon0
Aqui, $ 2\pi r L $ é a área lateral da superfície cilíndrica.
Isolando $ E $:
2pi r L

Passo 4

Observamos que o campo elétrico $ E $ é inversamente proporcional a $ r $ e aponta para dentro, já que a carga total $ Q_{enc} $ é negativa. Portanto, o campo elétrico fora da capa condutora é:
E

Passo 5

Passando para a parte b): encontrar a distribuição de cargas na capa condutora. Sabemos que em um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do material condutor é zero. Isso implica que as cargas se redistribuem somente na superfície externa e interna.
A carga total na capa é $ -2q -2q éí +q $). Portanto, a carga na superfície interna é $ -q $, e o restante da carga $ (-2q) - (-q) = -q $ fica na superfície externa.

Passo 6

Finalmente, para a parte c): determinar o campo elétrico entre os cilindros. Nesse espaço, a carga encerrada pela superfície gaussiana é apenas a carga do cilindro interno, que é $ +q $.
Aplicando novamente a Lei de Gauss:
+q
Isolando $ E $:
E cdot (2pi r L) = qvarepsilon0
O campo elétrico nesse intervalo aponta para fora do cilindro central.

Resposta

a) $ E = \dfrac{-q}{2\pi \varepsilon_0 r L} $, para fora da capa;
b) A distribuição de cargas na capa é $ -q $ na superfície interna e $ -q $ na superfície externa;
c) $ E = \dfrac{q}{2\pi \varepsilon_0 r L} $, para fora dos cilindros.

Exercícios relacionados