Um cilindro condutor muito longo (comprimento
) possui carga total
e está envolto por uma capa cilíndrica condutora, de mesmo comprimento, de carga total -2q. Determine, utilizando a lei de Gauss: a) o campo elétrico resultante em pontos externos à capa condutora; b) a distribuição de cargas na capa condutora; c) o campo elétrico entre os cilindros. R: a) -q/(20rL), para dentro; b) -q ; c)
, para fora.
Passo 1
Vamos entender o que a questão nos pede. Temos um cilindro condutor muito longo de comprimento $ L $ com carga total $ +q $, envolto por uma capa cilíndrica condutora também de comprimento $ L $ e com carga total $ -2q $. Vamos utilizar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga encerrada, para determinar:
a) O campo elétrico fora da capa condutora;
b) A distribuição de cargas na capa condutora;
c) O campo elétrico entre os cilindros.
b) A distribuição de cargas na capa condutora;
c) O campo elétrico entre os cilindros.
Para resolver, precisaremos aplicar a Lei de Gauss e entender como as cargas se distribuem em condutores.
Passo 2
Começamos analisando a parte a) da questão: determinar o campo elétrico fora da capa condutora. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que diz:
Onde $ \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} $ é o fluxo elétrico através de uma superfície fechada, $ Q_{enc} $ é a carga total dentro dessa superfície e $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo.
Como estamos procurando o campo fora da capa, vamos considerar uma superfície gaussiana cilíndrica de raio $ r $ maior que o raio da capa. A carga total dentro dessa superfície é $ +q + (-2q) = -q $.
Passo 3
Calculando o fluxo elétrico da Lei de Gauss:
Aqui, $ 2\pi r L $ é a área lateral da superfície cilíndrica.
Isolando $ E $:
Passo 4
Observamos que o campo elétrico $ E $ é inversamente proporcional a $ r $ e aponta para dentro, já que a carga total $ Q_{enc} $ é negativa. Portanto, o campo elétrico fora da capa condutora é:
Passo 5
Passando para a parte b): encontrar a distribuição de cargas na capa condutora. Sabemos que em um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do material condutor é zero. Isso implica que as cargas se redistribuem somente na superfície externa e interna.
A carga total na capa é $ -2q
+q $). Portanto, a carga na superfície interna é $ -q $, e o restante da carga $ (-2q) - (-q) = -q $ fica na superfície externa.
Passo 6
Finalmente, para a parte c): determinar o campo elétrico entre os cilindros. Nesse espaço, a carga encerrada pela superfície gaussiana é apenas a carga do cilindro interno, que é $ +q $.
Aplicando novamente a Lei de Gauss:
Isolando $ E $:
O campo elétrico nesse intervalo aponta para fora do cilindro central.
Resposta
a) $ E = \dfrac{-q}{2\pi \varepsilon_0 r L} $, para fora da capa;
b) A distribuição de cargas na capa é $ -q $ na superfície interna e $ -q $ na superfície externa;
c) $ E = \dfrac{q}{2\pi \varepsilon_0 r L} $, para fora dos cilindros.
b) A distribuição de cargas na capa é $ -q $ na superfície interna e $ -q $ na superfície externa;
c) $ E = \dfrac{q}{2\pi \varepsilon_0 r L} $, para fora dos cilindros.