Um cilindro condutor sólido, infinito e de raio
, possui densidade linear de carga
.
(a) Determine a densidade superficial de carga
do cilindro. (Lembre-se: para um condutor em equilíbrio eletrostático, toda a carga está na superfície.)
(b) Calcule o campo elétrico na superfície do cilindro em termos de
.
(c) Usando a simetria do sistema, indique a direção do campo elétrico em um ponto qualquer
(d) Utilizando a lei de Gauss com superfícies cilíndricas apropriadas, determine o campo elétrico como função da distância
ao eixo em termos de
(para
e para
).
(e) O campo que sua expressão prevê para o campo na superfície do cilindro concorda com o obtido em (b)?
(a) Determine a densidade superficial de carga
(b) Calcule o campo elétrico na superfície do cilindro em termos de
(c) Usando a simetria do sistema, indique a direção do campo elétrico em um ponto qualquer
(d) Utilizando a lei de Gauss com superfícies cilíndricas apropriadas, determine o campo elétrico como função da distância
(e) O campo que sua expressão prevê para o campo na superfície do cilindro concorda com o obtido em (b)?
Passo 1
O enunciado trata de um cilindro condutor sólido, infinito, de raio
, que carrega uma densidade linear de carga
.
Conteúdo: equilíbrio eletrostático em condutores e Lei de Gauss.
Objetivo: (a) relacionar com a densidade superficial
; (b) obter o campo na superfície em função de
; (c) indicar a direção do campo; (d) aplicar Gauss para achar
para
e
; (e) verificar coerência entre (b) e (d).
Conteúdo: equilíbrio eletrostático em condutores e Lei de Gauss.
Objetivo: (a) relacionar
Passo 2
Para um condutor em equilíbrio, toda a carga fica na superfície. Se consideramos um trecho de comprimento
, a carga total nesse pedaço é
e ela está distribuída na área lateral do cilindro, que vale
. Logo, a densidade superficial é
Passo 3
Na superfície do condutor, o campo elétrico imediatamente do lado de fora satisfaz a condição de contorno
Portanto
Passo 4
Pela simetria cilíndrica, o campo elétrico não depende de ângulo nem de altura, só da distância radial
. A direção de
é radial (isto é, ao longo da direção que sai do eixo): se
, o campo aponta para fora; se
, aponta para dentro.
Passo 5
Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio
e comprimento
.
- Se
, dentro do metal não há carga livre no volume interno, pois toda carga está na superfície externa. Assim e, pela Lei de Gauss,
- Se
, a carga interna é , e
Passo 6
Na superfície
, a expressão para
dá
e, usando
, obtemos
que coincide com o resultado de (b).
Resposta
(a)
(e) Sim. Em
ambas as fórmulas dão
.]