Um cilindro condutor sólido, infinito e de raio R, possui densidade linear de carga \lambda.
(a) Determine a densidade superficial de carga \sigma do cilindro. (Lembre-se: para um condutor em equilíbrio eletrostático, toda a carga está na superfície.)
(b) Calcule o campo elétrico na superfície do cilindro em termos de \sigma.
(c) Usando a simetria do sistema, indique a direção do campo elétrico em um ponto qualquer
(d) Utilizando a lei de Gauss com superfícies cilíndricas apropriadas, determine o campo elétrico como função da distância r ao eixo em termos de \lambda (para r<R e para r>R ).
(e) O campo que sua expressão prevê para o campo na superfície do cilindro concorda com o obtido em (b)?

Passo 1

O enunciado trata de um cilindro condutor sólido, infinito, de raio R, que carrega uma densidade linear de carga \lambda.
Conteúdo: equilíbrio eletrostático em condutores e Lei de Gauss.
Objetivo: (a) relacionar \lambda com a densidade superficial \sigma; (b) obter o campo na superfície em função de \sigma; (c) indicar a direção do campo; (d) aplicar Gauss para achar E(r) para r<R e r>R; (e) verificar coerência entre (b) e (d).

Passo 2

Para um condutor em equilíbrio, toda a carga fica na superfície. Se consideramos um trecho de comprimento L, a carga total nesse pedaço é
Q = \lambda\,L
e ela está distribuída na área lateral do cilindro, que vale A = 2\pi R\,L. Logo, a densidade superficial é
\sigma = \frac{Q}{A} = \frac{\lambda\,L}{2\pi R\,L} = \frac{\lambda}{2\pi R}.

Passo 3

Na superfície do condutor, o campo elétrico imediatamente do lado de fora satisfaz a condição de contorno
E_{\text{fora}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}.
Portanto
E(R) = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}.

Passo 4

Pela simetria cilíndrica, o campo elétrico não depende de ângulo nem de altura, só da distância radial r. A direção de \mathbf{E} é radial (isto é, ao longo da direção que sai do eixo): se \lambda>0, o campo aponta para fora; se \lambda<0, aponta para dentro.

Passo 5

Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio r e comprimento L.
  • Se r<R, dentro do metal não há carga livre no volume interno, pois toda carga está na superfície externa. Assim Q_{\rm int}=0 e, pela Lei de Gauss,
E(2\pi r L)=\frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_0}=0 \quad\Longrightarrow\quad E(r)=0.
  • Se r>R, a carga interna é \lambda\,L, e
E(2\pi r L)=\frac{\lambda\,L}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}.

Passo 6

Na superfície r=R, a expressão para r>R
E(R)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,R}
e, usando \sigma=\lambda/(2\pi R), obtemos
E(R)=\frac{\sigma}{\varepsilon_0},
que coincide com o resultado de (b).

Resposta

(a) \displaystyle \sigma=\frac{\lambda}{2\pi R}.\) (b) \(\displaystyle E(R)=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}.\) \text{(c)} \(\mathbf{E}\) é radial (para fora se \(\lambda>0\)). (d) \(\displaystyle E(r)=\begin{cases}0,&r<R,\\[6pt]\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r},&r>R.\end{cases}
(e) Sim. Em r=R ambas as fórmulas dão \lambda/(2\pi\varepsilon_0R)=\sigma/\varepsilon_0.]

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