Um cilindro condutor sólido, infinito e de raio R, possui densidade linear de carga \lambda.
(a) Determine a densidade superficial de carga \sigma do cilindro. (Lembre-se: para um condutor em equilíbrio eletrostático, toda a carga está na superfície.)
(b) Calcule o campo elétrico na superfície do cilindro em termos de \sigma.
(c) Usando a simetria do sistema, indique a direção do campo elétrico em um ponto qualquer
(d) Utilizando a lei de Gauss com superfícies cilíndricas apropriadas, determine o campo elétrico como função da distância r ao eixo em termos de \lambda (para r<R e para r>R ).
(e) O campo que sua expressão prevê para o campo na superfície do cilindro concorda com o obtido em (b)?
Refaça o problema acima para o caso de duas cascas esféricas concêntricas de raios a e b, com densidades superficiais de carga \pm \sigma.

Passo 1

O enunciado trata de um cilindro condutor sólido infinito de raio R com densidade linear de carga \lambda. Precisamos usar conceitos de eletrostática de condutores (toda carga em equilíbrio fica na superfície), simetria cilíndrica e a lei de Gauss para:
– (a) obter a densidade superficial \sigma,
– (b) calcular o campo na superfície em função de \sigma,
– (c) indicar a direção do campo,
– (d) aplicar Gauss para achar E(r) em r<R e r>R,
– (e) comparar o valor em r=R com o item (b).
Depois, refazemos todo o raciocínio para duas cascas esféricas concêntricas de raios a e b com densidades superficiais \pm\sigma.

Passo 2

Como toda carga está na superfície, podemos distribuir a carga linear \lambda uniformemente ao longo da área lateral por unidade de comprimento L=1. Essa área é
A_{\text{lat}} = 2\pi R \times 1
Portanto
\sigma = \frac{\lambda}{A_{\text{lat}}} = \frac{\lambda}{2\pi R}.

Passo 3

Para calcular o campo elétrico na superfície do cilindro em termos de \sigma, usamos o resultado geral da lei de Gauss para um cilindro de raio r (veja item (d) adiante), que dá
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,r}.
Em r=R isso é
E(R)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,R}.
Substituindo \lambda=2\pi R\,\sigma resulta
E(R)=\frac{2\pi R\,\sigma}{2\pi\varepsilon_{0}\,R} =\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}.

Passo 4

Pela simetria cilíndrica e o fato de o cilindro ser infinito, o campo em qualquer ponto fora (ou na superfície) é radial e perpendicular ao eixo do cilindro, apontando para fora se \lambda>0 (ou para dentro se \lambda<0).

Passo 5

Aplicando a lei de Gauss com uma superfície cilíndrica coaxial de comprimento unitário e raio genérico r:
– Para r<R não há carga envolvida Q_{\text{int}}=0, logo
E(r)=0.
– Para r>R a carga envolvida é \lambda, e a área da superfície gaussiana é 2\pi r\cdot1, então
E(r)\,2\pi r = \frac{\lambda}{\varepsilon_{0}} \;\;\Longrightarrow\;\; E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,r}.

Passo 6

Em r=R a expressão de E(r) para r>R
E(R)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,R} =\frac{\underbrace{2\pi R\,\sigma}_{\lambda}}{2\pi\varepsilon_{0}\,R} =\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}},
que coincide com o valor encontrado em (b).

Passo 7

Agora, para duas cascas esféricas concêntricas de raios a e b a<b, com densidades superficiais +\sigma na casca de raio a e -\sigma na de raio b, o procedimento é análogo: usar Gauss em superfícies esféricas.

Passo 8

Primeiro calculamos as cargas totais de cada casca:
Q_{a}=+\sigma\,(4\pi a^{2}), \quad Q_{b}=-\sigma\,(4\pi b^{2}).
Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r. Pelo teorema de Gauss:
– Se r<a: não envolve carga, de modo que
E(r)=0.
– Se a<r<b: envolve apenas Q_{a}, então
E(r)\,4\pi r^{2} = \frac{Q_{a}}{\varepsilon_{0}} \;\;\Longrightarrow\;\; E(r)=\frac{\sigma\,4\pi a^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}} =\frac{\sigma\,a^{2}}{\varepsilon_{0}\,r^{2}}.
– Se r>b: envolve Q_{a}+Q_{b}=\sigma\,4\pi(a^{2}-b^{2}), logo
E(r)\,4\pi r^{2} =\frac{\sigma\,4\pi\,(a^{2}-b^{2})}{\varepsilon_{0}} \;\;\Longrightarrow\;\; E(r)=\frac{\sigma\,(a^{2}-b^{2})}{\varepsilon_{0}\,r^{2}}.

Resposta

(a) \displaystyle \sigma=\frac{\lambda}{2\pi R}.
(b) \displaystyle E(R)=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}.
(c) O campo é radial (saindo do cilindro se \lambda>0).
(d) \displaystyle E(r)=0 para r<R, \displaystyle E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,r} para r>R.
(e) Sim: em r=R ambas as expressões dão \sigma/\varepsilon_{0}.
Para as cascas esféricas concentricas:
E(r)=0 para r<a.
E(r)=\dfrac{\sigma\,a^{2}}{\varepsilon_{0}\,r^{2}} para a<r<b.
E(r)=\dfrac{\sigma\,(a^{2}-b^{2})}{\varepsilon_{0}\,r^{2}} para r>b.

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