Um cilindro condutor sólido, infinito e de raio R, possui densidade linear de carga \lambda.
(a) Determine a densidade superficial de carga \sigma do cilindro. (Lembre-se: para um condutor em equilíbrio eletrostático, toda a carga está na superfície.)
(b) Calcule o campo elétrico na superfície do cilindro em termos de \sigma.
(c) Usando a simetria do sistema, indique a direção do campo elétrico em um ponto qualquer
(d) Utilizando a lei de Gauss com superfícies cilíndricas apropriadas, determine o campo elétrico como função da distância r ao eixo em termos de \lambda (para r<R e para r>R ).
(e) O campo que sua expressão prevê para o campo na superfície do cilindro concorda com o obtido em (b)?
Refaça o problema acima para o caso de duas cascas esféricas concêntricas de raios a e b, com densidades superficiais de carga \pm \sigma.
Passo 1
O enunciado trata de um cilindro condutor sólido infinito de raio R com densidade linear de carga \lambda. Precisamos usar conceitos de eletrostática de condutores (toda carga em equilíbrio fica na superfície), simetria cilíndrica e a lei de Gauss para:
– (a) obter a densidade superficial \sigma,
– (b) calcular o campo na superfície em função de \sigma,
– (c) indicar a direção do campo,
– (d) aplicar Gauss para achar E(r) em r<R e r>R,
– (e) comparar o valor em r=R com o item (b).
Depois, refazemos todo o raciocínio para duas cascas esféricas concêntricas de raios a e b com densidades superficiais \pm\sigma.
Passo 2
Como toda carga está na superfície, podemos distribuir a carga linear \lambda uniformemente ao longo da área lateral por unidade de comprimento L=1. Essa área é
Para calcular o campo elétrico na superfície do cilindro em termos de \sigma, usamos o resultado geral da lei de Gauss para um cilindro de raio r (veja item (d) adiante), que dá
Pela simetria cilíndrica e o fato de o cilindro ser infinito, o campo em qualquer ponto fora (ou na superfície) é radial e perpendicular ao eixo do cilindro, apontando para fora se \lambda>0 (ou para dentro se \lambda<0).
Passo 5
Aplicando a lei de Gauss com uma superfície cilíndrica coaxial de comprimento unitário e raio genérico r:
– Para r<R não há carga envolvida Q_{\text{int}}=0, logo
E(r)=0.
– Para r>R a carga envolvida é \lambda, e a área da superfície gaussiana é 2\pi r\cdot1, então
E(r)\,2\pi r = \frac{\lambda}{\varepsilon_{0}} \;\;\Longrightarrow\;\; E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,r}.
Agora, para duas cascas esféricas concêntricas de raios a e b a<b, com densidades superficiais +\sigma na casca de raio a e -\sigma na de raio b, o procedimento é análogo: usar Gauss em superfícies esféricas.
Passo 8
Primeiro calculamos as cargas totais de cada casca:
(a) \displaystyle \sigma=\frac{\lambda}{2\pi R}.
(b) \displaystyle E(R)=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}.
(c) O campo é radial (saindo do cilindro se \lambda>0).
(d) \displaystyle E(r)=0 para r<R, \displaystyle E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,r} para r>R.
(e) Sim: em r=R ambas as expressões dão \sigma/\varepsilon_{0}.
Para as cascas esféricas concentricas:
– E(r)=0 para r<a.
– E(r)=\dfrac{\sigma\,a^{2}}{\varepsilon_{0}\,r^{2}} para a<r<b.
– E(r)=\dfrac{\sigma\,(a^{2}-b^{2})}{\varepsilon_{0}\,r^{2}} para r>b.