Mostre que o fluxo de um campo elétrico uniforme, através de um hemisfério de uma superfície esférica, é igual ao fluxo desse mesmo campo elétrico uniforme, através de uma área delimitada por uma circunferência, perpendicular ao referido vetor campo elétrico uniforme, cujo raio é igual ao da semiesfera.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o fluxo de um campo elétrico uniforme
através de duas superfícies diferentes:
- Um hemisfério de raio
. - Um disco plano de raio
, posicionado perpendicularmente a .
O objetivo é mostrar que esses dois fluxos são iguais. Para isso vamos usar a definição de fluxo
e parametrizar a hemisfera em coordenadas esféricas, além de comparar com o caso do disco plano.
Passo 2
Escolhemos o eixo
de modo que
. No hemisfério de raio
(parte superior da esfera), usamos as coordenadas esféricas
= ângulo polar medido a partir de
, variando de
a
,
= ângulo azimutal em
.
O vetor normal externo à superfície é .
O vetor normal externo à superfície é
Passo 3
O elemento de área na superfície esférica é
O produto escalar com o campo é
Logo, o fluxo pelo hemisfério fica
Passo 4
Calculemos a integral em
e
:
Fazendo
,
, os limites vão de
a
, então
Portanto
Passo 5
Para o disco de raio
perpendicular a
, o vetor normal
está alinhado com
e tem módulo
. Logo
Resposta
O fluxo elétrico através do hemisfério e através do disco são ambos
logo são iguais.