Mostre que o fluxo de um campo elétrico uniforme, através de um hemisfério de uma superfície esférica, é igual ao fluxo desse mesmo campo elétrico uniforme, através de uma área delimitada por uma circunferência, perpendicular ao referido vetor campo elétrico uniforme, cujo raio é igual ao da semiesfera.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo de um campo elétrico uniforme \vec E através de duas superfícies diferentes:
  1. Um hemisfério de raio R.
  2. Um disco plano de raio R, posicionado perpendicularmente a \vec E.
    O objetivo é mostrar que esses dois fluxos são iguais. Para isso vamos usar a definição de fluxo
\Phi = \iint_S \vec E\cdot d\vec A
e parametrizar a hemisfera em coordenadas esféricas, além de comparar com o caso do disco plano.

Passo 2

Escolhemos o eixo z de modo que \vec E = E_0\,\hat k. No hemisfério de raio R (parte superior da esfera), usamos as coordenadas esféricas \theta = ângulo polar medido a partir de z, variando de 0 a \pi/2, \varphi = ângulo azimutal em [0,2\pi].
O vetor normal externo à superfície é \hat n=\hat r.

Passo 3

O elemento de área na superfície esférica é
dA = R^2\,\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
O produto escalar com o campo é
\vec E\cdot\hat n = E_0\,\hat k\cdot\hat r = E_0\cos\theta.
Logo, o fluxo pelo hemisfério fica
\Phi_{\rm hemi} = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi/2} E_0\cos\theta\;R^2\sin\theta\;d\theta\,d\varphi.

Passo 4

Calculemos a integral em \theta e \varphi:
\Phi_{\rm hemi} = E_0R^2 \int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,\sin\theta\,d\theta = 2\pi E_0R^2 \int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,\sin\theta\,d\theta.
Fazendo u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta, os limites vão de u(0)=0 a u(\pi/2)=1, então
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,\sin\theta\,d\theta = \int_{0}^{1}u\,du = \frac12.
Portanto
\Phi_{\rm hemi} = 2\pi E_0R^2\cdot\frac12 = \pi E_0R^2.

Passo 5

Para o disco de raio R perpendicular a \vec E, o vetor normal d\vec A está alinhado com \vec E e tem módulo dA. Logo
\Phi_{\rm disco} = \iint_{\rm disco} \vec E\cdot d\vec A = E_0\iint_{\rm disco}dA = E_0\,( \pi R^2 ) = \pi E_0R^2.

Resposta

O fluxo elétrico através do hemisfério e através do disco são ambos
\Phi = \pi E_0R^2,
logo são iguais.

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