Duas cargas fixas de +1,0 \mu C e -3,0 \mu C estão separadas por uma distância de 10 cm . Onde podemos localizar uma terceira carga de modo que a força eletrostática líquida sobre ela seja nula? Considere um deslocamento infinitesimal apropriado da posição de equilíbrio e conclua que o equilíbrio é instável. Em que direção você considerou o deslocamento? (Teorema de Earnshaw: nenhuma partícula pode estar em equilíbrio estável sob ação somente de forças eletrostáticas) Resp: 13,7 \mathrm{~cm} à esquerda da carga +1,0 \mu \mathrm{C}. Deslocamento perpendicular à linha das cargas.

Passo 1

O enunciado dá duas cargas pontuais fixas, Q_1=+1{,}0\;\mu\mathrm{C} e Q_2=-3{,}0\;\mu\mathrm{C}, separadas por 10\;\mathrm{cm}. Queremos achar a posição ao longo da reta que une Q_1 e Q_2 onde uma terceira carga de prova q sofre força elétrica resultante nula. Em seguida, vamos analisar a estabilidade desse ponto usando um deslocamento infinitesimal perpendicular à reta das cargas, aplicando conceitos de eletrostática e do Teorema de Earnshaw.

Passo 2

Escolhemos o eixo x de modo que Q_1 esteja em x=0 e Q_2 em x=10\;\mathrm{cm}. Supondo q>0 e que ela fique à esquerda de Q_1 (isto é, em x=-x_0 com x_0>0), as forças sobre q são:
  1. Repulsão por Q_1 de módulo
F_1 = k\,\frac{Q_1\,q}{x_0^2}
direcionada para a esquerda.
2. Atração por Q_2 de módulo
F_2 = k\,\frac{|Q_2|\,q}{(x_0+10\;\mathrm{cm})^2}
direcionada para a direita.
Em equilíbrio, F_1 = F_2, ou seja,
k\,\frac{Q_1\,q}{x_0^2} \;=\; k\,\frac{|Q_2|\,q}{(x_0+10)^2}.

Passo 3

Cancelando k e q e substituindo Q_1=1{,}0 e |Q_2|=3{,}0 (em \mu\mathrm{C}, e distâncias em cm), obtemos
\frac{1}{x_0^2} \;=\; \frac{3}{(x_0+10)^2} \quad\Longrightarrow\quad (x_0+10)^2 = 3\,x_0^2 \quad\Longrightarrow\quad x_0 = \frac{10}{\sqrt3 - 1} \approx 13{,}7\;\mathrm{cm}.
Logo, a posição de equilíbrio é 13{,}7\;\mathrm{cm} à esquerda de Q_1.

Passo 4

Para estudar a estabilidade, deslocamos q um pequeno valor y na direção perpendicular à reta que une Q_1 e Q_2. Nesse deslocamento:
  • A componente x do campo elétrico continua nula, pois mantivemos x=-13{,}7\;\mathrm{cm}.
  • Aparece uma componente de força F_y resultante cujo sinal empurra q para longe da reta, não de volta ao equilíbrio.
    Isso ocorre porque as linhas de campo ao redor desse ponto formam um ponto de sela no potencial elétrico, sem componente restauradora em y. Assim, qualquer pequeno y\neq0 gera F_y que aumenta |y|, caracterizando equilíbrio instável.

Resposta

A terceira carga deve ficar a 13{,}7\;\mathrm{cm} à esquerda da carga +1{,}0\;\mu\mathrm{C}. O equilíbrio é instável para deslocamentos na direção perpendicular à linha das cargas.

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