Um cilindro dotado de êmbolo está inicialmente posicionado verticalmente com a extremidade aberta voltada para cima. Nessa situaçâo, o gás aprisionado ocupa uma extensâo X. Em seguida, o recipiente é posicionado horizontalmente e o gás passa a ocupar uma extensăo Y. Finalmente, o cilindro é posicionado verticalmente com a abertura voltada para baixo, e o gás passa a ocupar uma extensāo Z do recipiente. Determine a relaçāo entre X, Y e Z considerando que a temperatura do gás é a mesma nas trés situações.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cilindro com êmbolo que muda de posição e, consequentemente, a extensão que o gás ocupa dentro dele muda de X para Y e depois para Z. O conteúdo envolvido aqui é o comportamento dos gases, mais especificamente a Lei de Boyle, que relaciona pressão e volume de um gás mantendo a temperatura constante. Para resolver, vamos precisar entender como a orientação do cilindro afeta a pressão exercida pelo gás.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Boyle, que diz:
P1 times V1 = P2 times V2
Aqui, P é a pressão e V é o volume. No nosso caso, como a temperatura é constante, essa relação vale. Mas o que acontece quando mudamos a posição do cilindro?

Passo 3

Quando o cilindro está na posição vertical com a abertura para cima, a pressão que o gás exerce é a pressão atmosférica Patm, já que não há coluna de líquido sobre o gás. A extensão do gás é X, que podemos relacionar ao volume V = A times X, onde A é a área da base do cilindro.

Passo 4

Ao posicionar o cilindro horizontalmente, a pressão sobre o gás ainda é a pressão atmosférica, porque não há variação na altura da coluna do gás. Portanto, a extensão Y também está relacionada à pressão atmosférica. Assim, P1 = Patm e V1 = A times X, V2 = A times Y.

Passo 5

Finalmente, quando o cilindro está vertical com a abertura para baixo, agora há uma coluna de gás sob a gravidade, o que aumenta a pressão no fundo do cilindro. A pressão total será a pressão atmosférica mais a pressão exercida pela coluna de gás, que depende da densidade, gravidade e altura Z:
P2 = Patm + rho g Z
Mas como estamos mantendo a temperatura constante, aplicamos a Lei de Boyle:
P1 times V1 = P2 times V2

Passo 6

Substituindo os valores:
Para a posição inicial (abertura para cima):
Patm times (A times X) = (Patm + rho g Z) times (A times Z)
Simplificando por A:
Patm times X = (Patm + rho g Z) times Z

Passo 7

Agora, isolamos os termos para encontrar a relação entre X, Y e Z. Supondo que Y seja igual a X na posição horizontal (já que a pressão não muda), então:
X = Z + rho g Z^2Patm
Para simplificar e encontrar uma relação direta, podemos considerar que a variação devido à coluna de gás é pequena, então podemos aproximar que:
X approx Z

Resposta

A relação entre as extensões é que $ X $ é aproximadamente igual a $ Z $, ou seja:
X

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