Um cilindro dotado de êmbolo está inicialmente posicionado verticalmente com a extremidade aberta voltada para cima. Nessa situaçâo, o gás aprisionado ocupa uma extensâo X. Em seguida, o recipiente é posicionado horizontalmente e o gás passa a ocupar uma extensăo
. Finalmente, o cilindro é posicionado verticalmente com a abertura voltada para baixo, e o gás passa a ocupar uma extensāo
do recipiente. Determine a relaçāo entre
e
considerando que a temperatura do gás é a mesma nas trés situações.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cilindro com êmbolo que muda de posição e, consequentemente, a extensão que o gás ocupa dentro dele muda de X para Y e depois para Z. O conteúdo envolvido aqui é o comportamento dos gases, mais especificamente a Lei de Boyle, que relaciona pressão e volume de um gás mantendo a temperatura constante. Para resolver, vamos precisar entender como a orientação do cilindro afeta a pressão exercida pelo gás.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Boyle, que diz:
Aqui,
é a pressão e
é o volume. No nosso caso, como a temperatura é constante, essa relação vale. Mas o que acontece quando mudamos a posição do cilindro?
Passo 3
Quando o cilindro está na posição vertical com a abertura para cima, a pressão que o gás exerce é a pressão atmosférica
, já que não há coluna de líquido sobre o gás. A extensão do gás é X, que podemos relacionar ao volume
, onde A é a área da base do cilindro.
Passo 4
Ao posicionar o cilindro horizontalmente, a pressão sobre o gás ainda é a pressão atmosférica, porque não há variação na altura da coluna do gás. Portanto, a extensão Y também está relacionada à pressão atmosférica. Assim,
e
,
.
Passo 5
Finalmente, quando o cilindro está vertical com a abertura para baixo, agora há uma coluna de gás sob a gravidade, o que aumenta a pressão no fundo do cilindro. A pressão total será a pressão atmosférica mais a pressão exercida pela coluna de gás, que depende da densidade, gravidade e altura Z:
Mas como estamos mantendo a temperatura constante, aplicamos a Lei de Boyle:
Passo 6
Substituindo os valores:
Para a posição inicial (abertura para cima):
Simplificando por A:
Passo 7
Agora, isolamos os termos para encontrar a relação entre X, Y e Z. Supondo que Y seja igual a X na posição horizontal (já que a pressão não muda), então:
Para simplificar e encontrar uma relação direta, podemos considerar que a variação devido à coluna de gás é pequena, então podemos aproximar que:
Resposta
A relação entre as extensões é que $ X $ é aproximadamente igual a $ Z $, ou seja: