( 0,6 pontos) Dê umá parametrização:
da elipse x^2a+y^2b=1, com a, b>0, em R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma parametrização da elipse dada pela equação x^2a+y^2b=1, onde a e b são números positivos. Isso está relacionado ao conteúdo de Geometria Analítica, especificamente sobre curvas no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar pontos na elipse de uma forma que varie com um parâmetro, geralmente o ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma circunferência. A circunferência com raio r é dada por x = r cos(t) e y = r sin(t), onde t varia de 0 a 2pi. Essa é uma forma comum de parametrizar curvas usando funções trigonométricas.

Passo 3

Agora, uma elipse é como uma circunferência esticada em uma direção. Na nossa equação x^2a+y^2b=1, a e b representam os semi-eixos da elipse: a é o semi-eixo maior (horizontal) e b é o semi-eixo menor (vertical).

Passo 4

Para parametrizar a elipse, vamos adaptar a ideia da circunferência. Em vez de multiplicar o cosseno e o seno por um único raio r, vamos multiplicar cada um pelo seu respectivo semi-eixo. Assim:
  • x = a cos(t)
  • y = b sin(t)
Aqui, t ainda varia de 0 a 2pi, cobrindo todos os pontos da elipse.

Passo 5

Essa parametrização garante que, para cada valor de t, o par (x, y) estará na elipse definida pela equação inicial. Vamos verificar:
Substituindo x e y na equação da elipse:
(a cos(t))^2a + (b sin(t))^2b = a cos^2(t) + b sin^2(t) = a cos^2(t) + b sin^2(t)
Se a = b, isso se reduz à circunferência. Caso contrário, representa a elipse corretamente.

Resposta

A parametrização da elipse x^2a+y^2b=1 em R^2 é:
x = a cos(t) y = b sin(t)
onde t varia de 0 a 2pi.

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