Um cilindro dotado de um pistão sem atrito, contém um gás ideal a
e
gás empurra lentamente o pistão, de tal forma que seu volume se expande de 0,1 a
. Elabore o diagrama
e calcule o trabalho realizado pelo gás sobre o pistão, quando:
a) a pressão for constante.
b) a temperatura for constante.
a) a pressão for constante.
b) a temperatura for constante.
Passo 1
O enunciado dá um cilindro com pistão sem atrito contendo um gás ideal nas condições iniciais
e
. O volume expande lentamente de
para
.
As perguntas são: (a) desenhar/interpretar o diagrama e calcular o trabalho realizado pelo gás se a pressão for constante; (b) desenhar/interpretar o diagrama
e calcular o trabalho realizado pelo gás se a temperatura for constante.
As perguntas são: (a) desenhar/interpretar o diagrama
Dado(s) numéricos principais:
Passo 2
Conceito-chave (o que é trabalho por um gás): quando um gás empurra um pistão lentamente (processo quasiestático) o trabalho realizado pelo gás sobre o pistão é dado por
onde
é a pressão do gás como função do volume durante o processo. Explicando as variáveis:
é o trabalho (em joules),
é a pressão (em pascals),
é o volume (em metros cúbicos). Unidade:
. O sinal: para expansão (volume aumenta) o gás realiza trabalho positivo.
Passo 3
Caso (a) — pressão constante. Se a pressão é constante, então
constante e a integral fica simples:
Substituindo os valores (convertendo
para pascals):
logo
Interpretação num diagrama
: é uma linha horizontal a
de
até
; o trabalho é a área do retângulo sob essa linha (altura
, base
).
Passo 4
Observação sobre desenho para (a): no gráfico
vertical e
horizontal, marque o ponto inicial
e o ponto final
. A linha do processo é horizontal. A área sombreada sob essa linha entre
e
representa o trabalho
e vale
.
Passo 5
Caso (b) — temperatura constante (isotérmico) para um gás ideal. Lembrando a equação dos gases ideais:
onde
é o número de mols,
a constante universal dos gases (
) e
a temperatura absoluta em kelvin. Em um processo isotérmico
é constante, então
é constante e podemos escrever
Substituímos na integral do trabalho:
Explicando a integral:
(logaritmo natural). A propriedade usada é
.
Passo 6
Para calcular numericamente
não precisamos saber
: basta usar a condição inicial
. Assim
Substituindo os valores conhecidos:
e
Portanto
Passo 7
Cálculo do valor da pressão final no processo isotérmico (apenas para completar a imagem): usando
,
No diagrama
o processo isotérmico é uma hipérbole passando por
e
. A área sob essa curva entre
e
é o trabalho isotérmico calculado acima, e é menor que a área do retângulo do caso (a) — por isso
neste exemplo.
Passo 8
Resumo prático e dica para prova:
- Para processos quasistáticos sempre usar
. - Se
é constante, . - Se o processo é isotérmico para gás ideal, usar
ou .
Grave essas três fórmulas — elas resolvem muitas questões rápidas sem muita conta.
Resposta
(a)
(b)
(b)