Um cilindro dotado de um pistão sem atrito, contém um gás ideal a 27^{\circ} \mathrm{C} e 200 \mathrm{kPa} . \mathrm{O} gás empurra lentamente o pistão, de tal forma que seu volume se expande de 0,1 a 0,2 \mathrm{~m}^{3}. Elabore o diagrama (P, V) e calcule o trabalho realizado pelo gás sobre o pistão, quando:
a) a pressão for constante.
b) a temperatura for constante.

Passo 1

O enunciado dá um cilindro com pistão sem atrito contendo um gás ideal nas condições iniciais T=27^\circ\mathrm{C} e P_i=200\\ \mathrm{kPa}. O volume expande lentamente de V_i=0,1\\ \mathrm{m^3} para V_f=0,2\\ \mathrm{m^3}.
As perguntas são: (a) desenhar/interpretar o diagrama (P,V) e calcular o trabalho realizado pelo gás se a pressão for constante; (b) desenhar/interpretar o diagrama (P,V) e calcular o trabalho realizado pelo gás se a temperatura for constante.
Dado(s) numéricos principais:
T=27^\circ\mathrm{C},\quad P_i=200\\ \mathrm{kPa}=200\times10^{3}\\ \mathrm{Pa},\quad V_i=0,1\\ \mathrm{m^3},\quad V_f=0,2\\ \mathrm{m^3}.

Passo 2

Conceito-chave (o que é trabalho por um gás): quando um gás empurra um pistão lentamente (processo quasiestático) o trabalho realizado pelo gás sobre o pistão é dado por
W=\int_{V_i}^{V_f} P(V)\,dV,
onde P(V) é a pressão do gás como função do volume durante o processo. Explicando as variáveis: W é o trabalho (em joules), P é a pressão (em pascals), V é o volume (em metros cúbicos). Unidade: 1\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m^3}=1\\ \mathrm{J}. O sinal: para expansão (volume aumenta) o gás realiza trabalho positivo.

Passo 3

Caso (a) — pressão constante. Se a pressão é constante, então P(V)=P= constante e a integral fica simples:
W=P\,(V_f-V_i).
Substituindo os valores (convertendo P para pascals):
P=200\times10^{3}\\ \mathrm{Pa},\quad V_f-V_i=0,2-0,1=0,1\\ \mathrm{m^3},
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W=200\times10^{3}\times0,1=2,0\times10^{4}\\ \mathrm{J}.
Interpretação num diagrama P\!-\!V: é uma linha horizontal a P=200\\ \mathrm{kPa} de V=0,1 até V=0,2; o trabalho é a área do retângulo sob essa linha (altura 200\\ \mathrm{kPa}, base 0,1\\ \mathrm{m^3}).

Passo 4

Observação sobre desenho para (a): no gráfico P vertical e V horizontal, marque o ponto inicial (V_i,P) e o ponto final (V_f,P). A linha do processo é horizontal. A área sombreada sob essa linha entre V_i e V_f representa o trabalho W e vale 2,0\times10^{4}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Caso (b) — temperatura constante (isotérmico) para um gás ideal. Lembrando a equação dos gases ideais:
P V = n R T,
onde n é o número de mols, R a constante universal dos gases ( R\approx8,314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}) e T a temperatura absoluta em kelvin. Em um processo isotérmico T é constante, então nRT é constante e podemos escrever
P(V)=\frac{nRT}{V}.
Substituímos na integral do trabalho:
W=\int_{V_i}^{V_f} \frac{nRT}{V}\,dV = nRT\int_{V_i}^{V_f}\frac{1}{V}\,dV = nRT\ln\!\frac{V_f}{V_i}.
Explicando a integral: \int \frac{1}{V}\,dV=\ln V (logaritmo natural). A propriedade usada é \ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b).

Passo 6

Para calcular numericamente nRT não precisamos saber n: basta usar a condição inicial \,P_iV_i=nRT. Assim
W = nRT\ln\frac{V_f}{V_i} = P_iV_i\ln\frac{V_f}{V_i}.
Substituindo os valores conhecidos:
P_iV_i = 200\times10^{3}\times0,1 = 2,0\times10^{4}\\ \mathrm{J},
e
\ln\frac{V_f}{V_i}=\ln\frac{0,2}{0,1}=\ln 2\approx0,6931.
Portanto
W = 2,0\times10^{4}\times\ln 2 \approx 2,0\times10^{4}\times0,6931 \approx 1,386\times10^{4}\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Cálculo do valor da pressão final no processo isotérmico (apenas para completar a imagem): usando P_f=\dfrac{P_iV_i}{V_f},
P_f=\frac{200\times10^{3}\times0,1}{0,2}=100\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}=100\\ \mathrm{kPa}.
No diagrama P\!-\!V o processo isotérmico é uma hipérbole passando por (0,1;200\\ \mathrm{kPa}) e (0,2;100\\ \mathrm{kPa}). A área sob essa curva entre V_i e V_f é o trabalho isotérmico calculado acima, e é menor que a área do retângulo do caso (a) — por isso W_{\text{isotérmico}}<W_{\text{const }P}é neste exemplo.

Passo 8

Resumo prático e dica para prova:
  • Para processos quasistáticos sempre usar W=\int P\,dV.
  • Se P é constante, W=P\Delta V.
  • Se o processo é isotérmico para gás ideal, usar W=nRT\ln(V_f/V_i) ou W=P_iV_i\ln(V_f/V_i).
    Grave essas três fórmulas — elas resolvem muitas questões rápidas sem muita conta.

Resposta

(a) W = 2,0\times10^{4}\\ \mathrm{J}
(b) W \approx 1,386\times10^{4}\\ \mathrm{J}

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