Rafaela Buscapé, a sua vizinha, surpreendeu seu marido no último inverno instalando uma banheira aquecida no quintal enquanto ele estava viajando a trabalho. O surpreendeu, tudo bem, mas em vez de ficar feliz, ele ficou espantado.
“Você ficou louca, Rafaela?” gritou. “Vai custar uma fortuna manter este troço aquecido e você sabe que o Presidente falou sobre conservação de energia.”
“Não seja bobo, João”, respondeu ela. “Não pode custar mais do que alguns centavos por dia, mesmo em pleno inverno.”
“De jeito nenhum - só porque você tem um doutorado, você pensa que é uma especialista em tudo!”
Eles discutiram por algum tempo levantando várias questões que cada um tinha guardado exatamente para uma ocasião como esta. Após se acalmarem e usarem a banheira por uma semana, lembrando que você estuda engenharia química, vieram pedir sua opinião para resolver o assunto. Você fez algumas perguntas, algumas observações, converteu tudo para unidades métricas e chegou aos seguintes dados, todos correspondentes a uma temperatura externa do ar de aproximadamente
.*
- A banheira comporta 1230 litros de água.
- Normalmente, João mantém a banheira a
, aquece até
quando planeja usála, a mantém a
por aproximadamente uma hora e depois a deixa resfriar até
após o uso.
- Durante o aquecimento, leva três horas para elevar a temperatura da água de
até
. Quando o aquecimento é desligado, leva oito horas para que a temperatura da água caia de novo até
.
- A eletricidade custa 10 centavos por quilowatt-hora.
Considerando que a capacidade calorífica da água na banheira seja a mesma da água líquida pura e desprezando a evaporação, responda as seguintes questões.
a) Qual é a taxa média de perda de calor (kW) da banheira para o ar externo? (Dica: Considere o período no qual a temperatura da banheira cai de
até
.)
b) Com que taxa média (kW) o aquecedor da banheira fornece calor à água quando está aquecendo? Qual é a quantidade total de eletricidade (
) que o aquecedor deve fornecer durante este período? [Considere o resultado da Parte (a) ao fazer este cálculo.]
c) (Estas respostas devem resolver a discussão.) Considere um dia no qual a banheira é usada uma vez. Use os resultados das Partes (a) e (b) para estimar o custo (R$) de aquecer a banheira de
até
e o custo (
) de mantê-la a temperatura constante. (Não há custo para o período no qual a temperatura está caindo.) Qual é o custo total diário de usar a banheira? Admita que a taxa de perda de calor é independente da temperatura da banheira.
d) A tampa da banheira, que é isolante, é removida quando a banheira está em uso. Explique como este fato provavelmente afetaria as estimativas de custo da Parte (c).
“Você ficou louca, Rafaela?” gritou. “Vai custar uma fortuna manter este troço aquecido e você sabe que o Presidente falou sobre conservação de energia.”
“Não seja bobo, João”, respondeu ela. “Não pode custar mais do que alguns centavos por dia, mesmo em pleno inverno.”
“De jeito nenhum - só porque você tem um doutorado, você pensa que é uma especialista em tudo!”
a) Qual é a taxa média de perda de calor (kW) da banheira para o ar externo? (Dica: Considere o período no qual a temperatura da banheira cai de
b) Com que taxa média (kW) o aquecedor da banheira fornece calor à água quando está aquecendo? Qual é a quantidade total de eletricidade (
d) A tampa da banheira, que é isolante, é removida quando a banheira está em uso. Explique como este fato provavelmente afetaria as estimativas de custo da Parte (c).
Passo 1
O que o problema pede:
- (a) A taxa média de perda de calor (em kW) da banheira para o ar externo.
- (b) A taxa média (em kW) com que o aquecedor fornece calor durante o aquecimento e a quantidade total de eletricidade (
) fornecida nesse período. - (c) O custo (R$) de aquecer a banheira de
para , o custo de mantê-la a por 1 hora, e o custo total diário (uma utilização). - (d) Como a remoção da tampa isolante durante o uso provavelmente afeta as estimativas de custo da parte (c).
Dados fornecidos (vou listá-los todos explicitamente):
Observação: os dados acima são exatamente os do enunciado; não há figura faltando. A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Princípio físico e fórmula que vamos usar (aula rápida): calor necessário para mudar a temperatura de uma massa de água.
A fórmula geral é
onde
-
é a energia térmica trocada, em (ou convertida para ), -
é a massa da água, em , -
é a capacidade calorífica da água, em , -
é a variação de temperatura em (ou , que aqui equivale numericamente).
Passo prático imediato: converter volume em massa.
Passo 3
Calcular a energia que a banheira perde ao esfriar de
para
(essa energia foi absorvida anteriormente no aquecimento). A variação de temperatura é
Aplicando
:
Faço a conta passo a passo:
Converter para
usando
:
Arredondando de forma razoável para cálculos seguintes:
Passo 4
Agora a taxa média de perda de calor durante o resfriamento (parte a)). A banheira perde essa energia de
ao longo de
. A potência média (energia por unidade de tempo) é
Fazendo a divisão:
Arredondando:
Interpretação física: em média a banheira está perdendo energia para o ar a uma taxa de cerca de
enquanto esfria entre
e
.
Passo 5
Parte (b): potência do aquecedor durante o aquecimento.
Durante o aquecimento de
para
(tempo
) há duas contribuições de energia que o aquecedor precisa suprir:
- A energia necessária para aumentar a temperatura da água:
(calculada no Passo 3). - A energia perdida para o ambiente durante o período de aquecimento:
.
A equação de balanço de energia média é
Isolando
:
Substituindo números (uso as formas com maior precisão antes do arredondamento):
Assim
Arredondando:
A energia total fornecida pelo aquecedor durante os
é simplesmente
Arredondando:
Passo 6
Parte (c): custo diário considerando um uso (os períodos e custos):
- Custo do aquecimento
: usa da Parte (b). - Custo de manter a banheira a
por 1 hora: precisa compensar perdas durante essa 1 h; energia = . - Não há custo durante o resfriamento (assumido).
Calcule as energias e custos usando
.
Energia para aquecer:
.
Custo de aquecer:
Custo de aquecer:
Arredondando para centavos:
Energia para manter por 1 h:
Custo de manter por 1 h:
Custo de manter por 1 h:
Custo total diário:
Comentário motivador: ou seja, a afirmação da Rafaela (“só alguns centavos por dia”) não está muito longe — o custo aqui fica de alguns reais (
) por uso diário; isso parece razoável comparado ao receio do João.
Passo 7
Verificação rápida das suposições e do arredondamento:
- Usei a capacidade térmica padrão
e densidade . - Assumi que a taxa média de perda
é independente da temperatura (como pedido), e estendi essa taxa ao período de aquecimento e ao período de manutenção. - Arredondei os números finais para dois dígitos decimais em Reais; os valores precisos antes do arredondamento estão apresentados nos passos anteriores, se você quiser mais precisão.
Passo 8
Parte (d): efeito de remover a tampa isolante (explicação qualitativa e física, sem novos cálculos).
Quando a tampa isolante é removida durante o uso:
- A resistência térmica entre a água e o ar ambiente aumenta (isto é, com tampa a perda é menor; sem tampa, a perda é maior). Portanto, a taxa de perda de calor
aumenta. - Consequência direta: durante o aquecimento o aquecedor terá que fornecer ainda mais potência para vencer as perdas aumentadas, logo
e aumentarão. Durante a hora de manutenção a energia necessária será maior (pois é maior). - Além disso, com a tampa removida ocorre evaporação livre da superfície da água; evaporação consome calor latente (energia) e geralmente é uma contribuição significativa às perdas quando a superfície está descoberta — isto aumentaria ainda mais os custos.
- Em resumo: remover a tampa durante o uso fará com que os custos estimados na parte (c) subestimem a realidade; os custos reais seriam maiores, possivelmente por uma fração notável dependendo do isolamento da tampa e das condições do tempo (vento, umidade, etc.).
Resposta
a)
b)
c) Custo de aquecer:
Custo de manter por 1 h:
Custo total diário (uma utilização):
Custo de manter por 1 h:
Custo total diário (uma utilização):
d) Sem a tampa isolante as perdas de calor e a evaporação aumentam, portanto
,
, e os custos calculados em (c) seriam maiores do que os valores acima.