Rafaela Buscapé, a sua vizinha, surpreendeu seu marido no último inverno instalando uma banheira aquecida no quintal enquanto ele estava viajando a trabalho. O surpreendeu, tudo bem, mas em vez de ficar feliz, ele ficou espantado.
“Você ficou louca, Rafaela?” gritou. “Vai custar uma fortuna manter este troço aquecido e você sabe que o Presidente falou sobre conservação de energia.”
“Não seja bobo, João”, respondeu ela. “Não pode custar mais do que alguns centavos por dia, mesmo em pleno inverno.”
“De jeito nenhum - só porque você tem um doutorado, você pensa que é uma especialista em tudo!”
Eles discutiram por algum tempo levantando várias questões que cada um tinha guardado exatamente para uma ocasião como esta. Após se acalmarem e usarem a banheira por uma semana, lembrando que você estuda engenharia química, vieram pedir sua opinião para resolver o assunto. Você fez algumas perguntas, algumas observações, converteu tudo para unidades métricas e chegou aos seguintes dados, todos correspondentes a uma temperatura externa do ar de aproximadamente 5^{\circ} \mathrm{C}.*
  • A banheira comporta 1230 litros de água.
  • Normalmente, João mantém a banheira a 29^{\circ} \mathrm{C}, aquece até 40^{\circ} \mathrm{C} quando planeja usála, a mantém a 40^{\circ} \mathrm{C} por aproximadamente uma hora e depois a deixa resfriar até 29^{\circ} \mathrm{C} após o uso.
  • Durante o aquecimento, leva três horas para elevar a temperatura da água de 29^{\circ} \mathrm{C} até 40^{\circ} \mathrm{C}. Quando o aquecimento é desligado, leva oito horas para que a temperatura da água caia de novo até 29^{\circ} \mathrm{C}.
  • A eletricidade custa 10 centavos por quilowatt-hora.
Considerando que a capacidade calorífica da água na banheira seja a mesma da água líquida pura e desprezando a evaporação, responda as seguintes questões.
a) Qual é a taxa média de perda de calor (kW) da banheira para o ar externo? (Dica: Considere o período no qual a temperatura da banheira cai de 40^{\circ} \mathrm{C} até 29^{\circ} \mathrm{C}.)
b) Com que taxa média (kW) o aquecedor da banheira fornece calor à água quando está aquecendo? Qual é a quantidade total de eletricidade ( \mathrm{kW} \cdot \mathrm{h} ) que o aquecedor deve fornecer durante este período? [Considere o resultado da Parte (a) ao fazer este cálculo.]
c) (Estas respostas devem resolver a discussão.) Considere um dia no qual a banheira é usada uma vez. Use os resultados das Partes (a) e (b) para estimar o custo (R$) de aquecer a banheira de 29^{\circ} \mathrm{C}até 40^{\circ} \mathrm{C}e o custo ( R \$ ) de mantê-la a temperatura constante. (Não há custo para o período no qual a temperatura está caindo.) Qual é o custo total diário de usar a banheira? Admita que a taxa de perda de calor é independente da temperatura da banheira.
d) A tampa da banheira, que é isolante, é removida quando a banheira está em uso. Explique como este fato provavelmente afetaria as estimativas de custo da Parte (c).

Passo 1

O que o problema pede:
  • (a) A taxa média de perda de calor (em kW) da banheira para o ar externo.
  • (b) A taxa média (em kW) com que o aquecedor fornece calor durante o aquecimento e a quantidade total de eletricidade ( \mathrm{kW\cdot h}) fornecida nesse período.
  • (c) O custo (R$) de aquecer a banheira de 29^{\circ}\mathrm{C} para 40^{\circ}\mathrm{C}, o custo de mantê-la a 40^{\circ}\mathrm{C} por 1 hora, e o custo total diário (uma utilização).
  • (d) Como a remoção da tampa isolante durante o uso provavelmente afeta as estimativas de custo da parte (c).
Dados fornecidos (vou listá-los todos explicitamente):
\begin{aligned} &\text{Volume da banheira} = 1230\\ \mathrm{L} \\\ &\text{Temperaturas: }29^{\circ}\mathrm{C}\text{ (normal)}\\ \to\\\ 40^{\circ}\mathrm{C}\text{ (uso)} \\\ &\text{Tempo de aquecimento }29\to40^{\circ}\mathrm{C} = 3\\ \mathrm{h} \\\ &\text{Tempo de resfriamento }40\to29^{\circ}\mathrm{C} = 8\\ \mathrm{h} \\\ &\text{Temperatura externa} \approx 5^{\circ}\mathrm{C} \\\ &\text{Custo da eletricidade} = 0{,}10\\ \mathrm{R\$ / kW\cdot h} \\\ &\text{Capacidade calorífica da água (água líquida pura): } c = 4{,}186\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}} \\\ &\text{Densidade da água (usada para converter volume em massa): }1\\ \mathrm{L}=1\\ \mathrm{kg}. \end{aligned}íááíá
Observação: os dados acima são exatamente os do enunciado; não há figura faltando. A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (aula rápida): calor necessário para mudar a temperatura de uma massa de água.
A fórmula geral é
Q = m\,c\,\Delta T,
onde
  • Q é a energia térmica trocada, em \mathrm{kJ} (ou convertida para \mathrm{kW\cdot h}),
  • m é a massa da água, em \mathrm{kg},
  • c é a capacidade calorífica da água, em \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}},
  • \Delta T é a variação de temperatura em \mathrm{K} (ou {}^{\circ}\mathrm{C}, que aqui equivale numericamente).
Passo prático imediato: converter volume em massa.
m = 1230\\ \mathrm{L} = 1230\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Calcular a energia que a banheira perde ao esfriar de 40^{\circ}\mathrm{C} para 29^{\circ}\mathrm{C} (essa energia foi absorvida anteriormente no aquecimento). A variação de temperatura é
\Delta T = 40 - 29 = 11\\ \mathrm{^\circ C}.
Aplicando Q = m c \Delta T:
Q = 1230\cdot 4{,}186 \cdot 11\\ \mathrm{kJ}.
Faço a conta passo a passo:
4{,}186 \cdot 11 = 46{,}046\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}
Q = 46{,}046 \cdot 1230 = 56{,}636{,}58\\ \mathrm{kJ}.
Converter para \mathrm{kW\cdot h} usando 1\\ \mathrm{kW\cdot h} = 3600\\ \mathrm{kJ}:
Q = \frac{56{,}636{,}58}{3600} = 15{,}73238\\ \mathrm{kW\cdot h}.
Arredondando de forma razoável para cálculos seguintes:
Q \approx 15{,}73\\ \mathrm{kW\cdot h}.

Passo 4

Agora a taxa média de perda de calor durante o resfriamento (parte a)). A banheira perde essa energia de 15{,}73\\ \mathrm{kW\cdot h} ao longo de 8\\ \mathrm{h}. A potência média (energia por unidade de tempo) é
P_{\text{perda}} = \frac{Q}{t} = \frac{15{,}73238\\ \mathrm{kW\cdot h}}{8\\ \mathrm{h}}.
Fazendo a divisão:
P_{\text{perda}} = 1{,}96655\\ \mathrm{kW}.
Arredondando:
P_{\text{perda}} \approx 1{,}97\\ \mathrm{kW}.
Interpretação física: em média a banheira está perdendo energia para o ar a uma taxa de cerca de 1{,}97\\ \mathrm{kW} enquanto esfria entre 40 e 29^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 5

Parte (b): potência do aquecedor durante o aquecimento.
Durante o aquecimento de 29 para 40^{\circ}\mathrm{C} (tempo t_{\text{aq}}=3\\ \mathrm{h}) há duas contribuições de energia que o aquecedor precisa suprir:
  1. A energia necessária para aumentar a temperatura da água: \Delta E = 15{,}73238\\ \mathrm{kW\cdot h} (calculada no Passo 3).
  2. A energia perdida para o ambiente durante o período de aquecimento: P_{\text{perda}}\cdot t_{\text{aq}}.
A equação de balanço de energia média é
\Delta E = \left(P_{\text{aquecedor}} - P_{\text{perda}}\right)\cdot t_{\text{aq}}.
Isolando P_{\text{aquecedor}}:
P_{\text{aquecedor}} = P_{\text{perda}} + \frac{\Delta E}{t_{\text{aq}}}.
Substituindo números (uso as formas com maior precisão antes do arredondamento):
\frac{\Delta E}{t_{\text{aq}}} = \frac{15{,}73238\\ \mathrm{kW\cdot h}}{3\\ \mathrm{h}} = 5{,}24413\\ \mathrm{kW}.
Assim
P_{\text{aquecedor}} = 1{,}96655 + 5{,}24413 = 7{,}21068\\ \mathrm{kW}.
Arredondando:
P_{\text{aquecedor}} \approx 7{,}21\\ \mathrm{kW}.
A energia total fornecida pelo aquecedor durante os 3\\ \mathrm{h} é simplesmente
E_{\text{fornecida}} = P_{\text{aquecedor}}\cdot t_{\text{aq}} = 7{,}21068\cdot 3 = 21{,}63204\\ \mathrm{kW\cdot h}.
Arredondando:
E_{\text{fornecida}} \approx 21{,}63\\ \mathrm{kW\cdot h}.

Passo 6

Parte (c): custo diário considerando um uso (os períodos e custos):
  • Custo do aquecimento 29\to40^{\circ}\mathrm{C}: usa E_{\text{fornecida}} da Parte (b).
  • Custo de manter a banheira a 40^{\circ}\mathrm{C} por 1 hora: precisa compensar perdas durante essa 1 h; energia = P_{\text{perda}}\cdot 1\\ \mathrm{h}.
  • Não há custo durante o resfriamento (assumido).
Calcule as energias e custos usando 0{,}10\\ \mathrm{R\$\\ per\\ kW\cdot h}.
Energia para aquecer: 21{,}63204\\ \mathrm{kW\cdot h}.
Custo de aquecer:
\text{Custo}_{\text{aquecer}} = 21{,}63204\cdot 0{,}10 = 2{,}163204\\ \mathrm{R\$}.
Arredondando para centavos:
\text{Custo}_{\text{aquecer}} \approx 2{,}16\\ \mathrm{R\$}.
Energia para manter por 1 h: E_{\text{manter}} = P_{\text{perda}}\cdot 1\\ \mathrm{h} = 1{,}96655\\ \mathrm{kW\cdot h}.
Custo de manter por 1 h:
\text{Custo}_{\text{manter}} = 1{,}96655\cdot 0{,}10 = 0{,}196655\\ \mathrm{R\$} \approx 0{,}20\\ \mathrm{R\$}.
Custo total diário:
\text{Custo}_{\text{total}} = 2{,}163204 + 0{,}196655 = 2{,}359859\\ \mathrm{R\$} \approx 2{,}36\\ \mathrm{R\$}.
Comentário motivador: ou seja, a afirmação da Rafaela (“só alguns centavos por dia”) não está muito longe — o custo aqui fica de alguns reais ( \sim\!2{,}36\\ \mathrm{R\$}) por uso diário; isso parece razoável comparado ao receio do João.

Passo 7

Verificação rápida das suposições e do arredondamento:
  • Usei a capacidade térmica padrão c=4{,}186\\ \mathrm{kJ/kg\cdot K} e densidade 1\\ \mathrm{kg/L}.
  • Assumi que a taxa média de perda P_{\text{perda}} é independente da temperatura (como pedido), e estendi essa taxa ao período de aquecimento e ao período de manutenção.
  • Arredondei os números finais para dois dígitos decimais em Reais; os valores precisos antes do arredondamento estão apresentados nos passos anteriores, se você quiser mais precisão.

Passo 8

Parte (d): efeito de remover a tampa isolante (explicação qualitativa e física, sem novos cálculos).
Quando a tampa isolante é removida durante o uso:
  • A resistência térmica entre a água e o ar ambiente aumenta (isto é, com tampa a perda é menor; sem tampa, a perda é maior). Portanto, a taxa de perda de calor P_{\text{perda}} aumenta.
  • Consequência direta: durante o aquecimento o aquecedor terá que fornecer ainda mais potência para vencer as perdas aumentadas, logo P_{\text{aquecedor}} e E_{\text{fornecida}} aumentarão. Durante a hora de manutenção a energia necessária será maior (pois P_{\text{perda}} é maior).
  • Além disso, com a tampa removida ocorre evaporação livre da superfície da água; evaporação consome calor latente (energia) e geralmente é uma contribuição significativa às perdas quando a superfície está descoberta — isto aumentaria ainda mais os custos.
  • Em resumo: remover a tampa durante o uso fará com que os custos estimados na parte (c) subestimem a realidade; os custos reais seriam maiores, possivelmente por uma fração notável dependendo do isolamento da tampa e das condições do tempo (vento, umidade, etc.).

Resposta

a) P_{\text{perda}}\approx 1{,}97\\ \mathrm{kW}.
b) P_{\text{aquecedor}}\approx 7{,}21\\ \mathrm{kW}.
E_{\text{fornecida}}\approx 21{,}63\\ \mathrm{kW\cdot h}.
c) Custo de aquecer: \approx R\$\,2{,}16.
Custo de manter por 1 h: \approx R\$\,0{,}20.
Custo total diário (uma utilização): \approx R\$\,2{,}36.
d) Sem a tampa isolante as perdas de calor e a evaporação aumentam, portanto P_{\text{perda}}, P_{\text{aquecedor}}, e os custos calculados em (c) seriam maiores do que os valores acima.

Exercícios relacionados