Em uma planta de pasteurização, deseja-se aquecer 5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de leite de 25^{\circ} \mathrm{C} para 75 { }^{\circ} \mathrm{C} utilizando água quente a 95^{\circ} \mathrm{C}, que sai do trocador a 60^{\circ} \mathrm{C}.
Admita o calor específico do leite como 3,9 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K} e o da água como 4,18 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}.
O coeficiente global de transferência de calor é 1000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}.
a) Calcule a vazão mássica de água necessária.
b) Determine a área do trocador de calor se for do tipo contracorrente.
(Resultados esperados:
mágua \approx 4,6 \mathrm{~kg} / \mathrm{s};
\mathrm{A} \approx 22 \mathrm{~m}^{2}.)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) a vazão mássica de água necessária e (b) a área do trocador do tipo contracorrente. As informações fornecidas são:
\dot{m}_{\text{leite}} = 5\\ \mathrm{kg/s} (vazão mássica do leite)
Temperaturas do leite: T_{\text{leite,in}} = 25^\circ\mathrm{C}, T_{\text{leite,out}} = 75^\circ\mathrm{C}
Temperaturas da água quente: T_{\text{água,in}} = 95^\circ\mathrm{C}á, T_{\text{água,out}} = 60^\circ\mathrm{C}á (essas temperaturas foram tiradas do enunciado)
Calores específicos: c_{\text{leite}} = 3{,}9\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, c_{\text{água}} = 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}á
Coeficiente global de transferência de calor: U = 1000\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}
Vamos usar conservação de energia para (a) e o método LMTD (log mean temperature difference) para trocadores contracorrente para (b). Não começo a calcular ainda; só organizei os dados e o que é pedido.

Passo 2

Conservação de energia (balanço térmico) em regime estacionário para o trocador diz que a potência térmica cedida pelo fluido quente é a mesma absorvida pelo fluido frio (desprezando perdas):
\dot{Q} = \dot{m}_{\text{leite}}\; c_{\text{leite}}\; (T_{\text{leite,out}} - T_{\text{leite,in}}) = \dot{m}_{\text{água}}\; c_{\text{água}}\; (T_{\text{água,in}} - T_{\text{água,out}})áááá
Aqui:
  • \dot{Q} é a taxa de transferência de calor (W);
  • \dot{m} é vazão mássica (kg/s);
  • c é calor específico (J/(kg·K));
  • as diferenças de temperatura são em K (igual a °C para variação).
Vamos usar essa igualdade para achar \dot{m}_{\text{água}}á.

Passo 3

Calculo da potência térmica necessária para aquecer o leite (uso unidades SI). Primeiro converto os calores específicos para J/(kg·K):
c_{\text{leite}} = 3{,}9\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 3900\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}
A variação de temperatura do leite é
\Delta T_{\text{leite}} = T_{\text{leite,out}} - T_{\text{leite,in}} = 75 - 25 = 50\\ \mathrm{K}.
Logo a potência térmica requerida é
\dot{Q} = \dot{m}_{\text{leite}}\; c_{\text{leite}}\; \Delta T_{\text{leite}} = 5\cdot 3900 \cdot 50\\ \mathrm{W}.
Faço a conta passo a passo:
5\cdot 3900 = 19500,
19500\cdot 50 = 975000\\ \mathrm{W}.
Portanto \dot{Q} = 975000\\ \mathrm{W} (ou 975\\ \mathrm{kW}).

Passo 4

Agora uso o balanço para obter \dot{m}_{\text{água}}á. Converto c_{\text{água}}á para J/(kg·K):
c_{\text{água}} = 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.á
A variação de temperatura da água (do enunciado) é
\Delta T_{\text{água}} = T_{\text{água,in}} - T_{\text{água,out}} = 95 - 60 = 35\\ \mathrm{K}.ááá
Isolando \dot{m}_{\text{água}}á da equação de balanço:
\dot{m}_{\text{água}} = \dfrac{\dot{Q}}{c_{\text{água}}\; \Delta T_{\text{água}}}.ááá
Substituindo valores:
\dot{m}_{\text{água}} = \dfrac{975000}{4180 \cdot 35}\\ \mathrm{kg/s}.á
Faço a conta:
4180\cdot 35 = 146300,
\dot{m}_{\text{água}} = \dfrac{975000}{146300} \approx 6{,}666\dots\\ \mathrm{kg/s}.á
Arredondando razoavelmente, \dot{m}_{\text{água}} \approx 6{,}67\\ \mathrm{kg/s}á.
Observação importante: esse valor decorre diretamente da conservação de energia e das temperaturas ditas no enunciado. Se alguém apresenta \dot{m}_{\text{água}}á muito diferente (por ex. \approx 4{,}6\\ \mathrm{kg/s}), isso só seria compatível se a água perdesse muito mais calor (isto é, se a diferença de temperatura fosse maior do que 35\\ \mathrm{K} — por exemplo cair até \sim 44^\circ\mathrm{C}). Mas o enunciado afirma que a água sai a 60^\circ\mathrm{C}, então \approx 6{,}67\\ \mathrm{kg/s} é o correto pelo balanço energético.

Passo 5

Para achar a área do trocador em regime contracorrente usamos a relação:
\dot{Q} = U\; A\; \Delta T_{\text{lm}}
onde
  • U é o coeficiente global de transferência de calor (aqui 1000\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)});
  • A é a área de troca (m ^2);
  • \Delta T_{\text{lm}} é a log mean temperature difference (LMTD), que representa a diferença média logarítmica de temperatura entre os fluidos ao longo do trocador quando essa diferença varia entre as duas extremidades.
Para contracorrente, definimos as duas diferenças de extremidade:
\Delta T_1 = T_{\text{água,in}} - T_{\text{leite,out}}á
\Delta T_2 = T_{\text{água,out}} - T_{\text{leite,in}}á
e a LMTD é
\Delta T_{\text{lm}} = \dfrac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}.
Essa fórmula vem de integrar a variação de temperatura ao longo do trocador; o importante aqui é que ela fornece a diferença logarítmica média correta quando a diferença varia de \Delta T_1 para \Delta T_2.

Passo 6

Calculo \Delta T_1 e \Delta T_2 usando as temperaturas do enunciado:
\Delta T_1 = 95 - 75 = 20\\ \mathrm{K},
\Delta T_2 = 60 - 25 = 35\\ \mathrm{K}.
Agora a LMTD:
\Delta T_{\text{lm}} = \dfrac{20 - 35}{\ln\!\left(\dfrac{20}{35}\right)} = \dfrac{-15}{\ln(0{,}571428\dots)}.
Calculando o logaritmo e a divisão:
\ln(0{,}571428) \approx -0{,}5596,
\Delta T_{\text{lm}} \approx \dfrac{-15}{-0{,}5596} \approx 26{,}8\\ \mathrm{K}.
Então \Delta T_{\text{lm}} \approx 26{,}8\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Finalmente, a área do trocador:
A = \dfrac{\dot{Q}}{U\; \Delta T_{\text{lm}}}.
Substituo \dot{Q}=975000\\ \mathrm{W}, U=1000\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)} e \Delta T_{\text{lm}}=26{,}8\\ \mathrm{K}:
A = \dfrac{975000}{1000 \cdot 26{,}8}\\ \mathrm{m^2} = \dfrac{975000}{26800}\\ \mathrm{m^2}.
Faço a divisão:
A \approx 36{,}36\\ \mathrm{m^2}.
Arredondando, A \approx 36{,}4\\ \mathrm{m^2}.

Passo 8

Resumo e nota final de verificação: pelos dados fornecidos (especialmente o fato de a água sair a 60^\circ\mathrm{C}), o balanço energético leva a \dot{m}_{\text{água}}\approx 6{,}67\\ \mathrm{kg/s}á e A\approx 36{,}4\\ \mathrm{m^2}. Se alguém apresenta \dot{m}_{\text{água}}\approx 4{,}6\\ \mathrm{kg/s}á e A\approx 22\\ \mathrm{m^2} (valores que você citou como “esperados”), então esses valores não são compatíveis com o enunciado a menos que a água perca mais calor do que os 35\\ \mathrm{K} declarados (isto é, a água teria que sair bem mais fria que 60^\circ\mathrm{C}). Fica aqui o passo a passo para você justificar isso na prova — você pode mostrar facilmente que o valor \approx 6{,}67\\ \mathrm{kg/s} vem da conservação de energia, sem mistério. Força aí — dá pra fazer!

Resposta

\dot{m}_{\text{água}} \approx 6{,}67\\ \mathrm{kg/s}á
A \approx 36{,}4\\ \mathrm{m^2}

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