Dada as funções escalares.
(b)
obtenha
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema nos dá uma função escalar $ V® = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r} $ e nos pede para encontrar $ \nabla \cdot (\nabla V) $, que é basicamente o divergente do gradiente de $ V $. Nesse processo, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente gradiente e divergente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar $ V® $ nos dá um vetor que aponta na direção de maior variação de $ V $ e cuja magnitude é a taxa dessa variação. Matematicamente, para $ V® $, o gradiente é dado por:
Onde $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção radial.
Passo 3
Vamos calcular $ \frac{dV}{dr} $. A função dada é:
Derivando em relação a $ r $:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o divergente desse gradiente, $ \nabla \cdot (\nabla V) $, que é também conhecido como o Laplaciano de $ V $, $ \nabla^2 V $.
Em coordenadas esféricas, o Laplaciano de uma função que depende apenas de $ r $ é dado por:
Vamos aplicar isso à nossa função.
Passo 5
Substituindo $ \frac{dV}{dr} $ na expressão do Laplaciano:
Como $ \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} $ é uma constante em relação a $ r $, a derivada é zero:
Passo 6
Portanto, concluímos que: