Dada as funções escalares.
(b) V(r)=-14 pi varepsilon0 qr obtenha nabla cdot(nabla V)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema nos dá uma função escalar $ V® = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r} $ e nos pede para encontrar $ \nabla \cdot (\nabla V) $, que é basicamente o divergente do gradiente de $ V $. Nesse processo, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente gradiente e divergente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar $ V® $ nos dá um vetor que aponta na direção de maior variação de $ V $ e cuja magnitude é a taxa dessa variação. Matematicamente, para $ V® $, o gradiente é dado por:
V(r)
Onde $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção radial.

Passo 3

Vamos calcular $ \frac{dV}{dr} $. A função dada é:
dVdr
Derivando em relação a $ r $:
V(r) = -14 pi varepsilon0 qr
Então, o gradiente é:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o divergente desse gradiente, $ \nabla \cdot (\nabla V) $, que é também conhecido como o Laplaciano de $ V $, $ \nabla^2 V $.
Em coordenadas esféricas, o Laplaciano de uma função que depende apenas de $ r $ é dado por:
nabla cdot (nabla V)
Vamos aplicar isso à nossa função.

Passo 5

Substituindo $ \frac{dV}{dr} $ na expressão do Laplaciano:
dVdr
Como $ \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} $ é uma constante em relação a $ r $, a derivada é zero:
nabla^2 V = 1r^2 ddr ( r^2 cdot q4 pi varepsilon0 r^2 ) = 1r^2 ddr ( q4 pi varepsilon0 )

Passo 6

Portanto, concluímos que:
nabla cdot (nabla V) = nabla^2 V = 0

Resposta

nabla cdot (nabla V) = 0

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