Q8. Um cilindro homogêneo de raio
e massa
rola sem escorregar sobre um piso horizontal a
. Calcule o trabalho para frear e parar o cilindro.
:
.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- Dados:
-
. -
. - velocidade de rolamento sem escorregar
.
-
- Pedido:
- Calcular o trabalho necessário para frear e parar o cilindro (isto é, o trabalho total realizado pelas forças de frenagem até a parada).
Passo 2
Ideia e princípio físico usado (explicado passo a passo de forma intuitiva).
- Quando um corpo se move com rotação, ele tem duas parcelas de energia cinética: a energia cinética de translação do centro de massa e a energia cinética de rotação em torno do centro. O trabalho das forças de frenagem é igual à variação da energia mecânica (teorema trabalho-energia).
- Como queremos parar o cilindro, a variação da energia cinética será a perda de toda a energia cinética inicial; o trabalho total
feito pelas forças de frenagem será o negativo dessa energia inicial:
- Portanto precisamos calcular a energia cinética inicial total
.
Passo 3
Fórmulas e explicação das parcelas de energia:
- Energia cinética de translação do centro de massa:
onde
é a massa e
a velocidade do centro de massa.
- Energia cinética de rotação em torno do eixo central:
onde
é o momento de inércia do cilindro em relação ao eixo central e
é a velocidade angular.
- Para um cilindro homogêneo (sólido) de raio
, o momento de inércia em torno do eixo central é conhecido e vale
- Como o cilindro rola sem escorregar, a relação entre velocidade linear e angular é
Passo 4
Substituir
e
em
e simplificar (mostrando contas):
- Começando em
:
- Simplificando:
Passo 5
Calcular numericamente
e
:
- Energia de translação:
- Energia de rotação:
Passo 6
Energia cinética total inicial e trabalho para parar:
- Soma das parcelas:
- Pelo teorema trabalho-energia, o trabalho realizado pelas forças de frenagem para reduzir a energia a zero é o negativo da energia inicial: