Q8. Um cilindro homogêneo de raio R=15 \mathrm{~cm} e massa M=50 \mathrm{~kg} rola sem escorregar sobre um piso horizontal a 6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule o trabalho para frear e parar o cilindro. \mathbf{R} : W=-1350 J.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dados:
    • R=15\\ \mathrm{cm}=0{,}15\\ \mathrm{m}.
    • M=50\\ \mathrm{kg}.
    • velocidade de rolamento sem escorregar v=6\\ \mathrm{m/s}.
  • Pedido:
    • Calcular o trabalho necessário para frear e parar o cilindro (isto é, o trabalho total realizado pelas forças de frenagem até a parada).

Passo 2

Ideia e princípio físico usado (explicado passo a passo de forma intuitiva).
  • Quando um corpo se move com rotação, ele tem duas parcelas de energia cinética: a energia cinética de translação do centro de massa e a energia cinética de rotação em torno do centro. O trabalho das forças de frenagem é igual à variação da energia mecânica (teorema trabalho-energia).
  • Como queremos parar o cilindro, a variação da energia cinética será a perda de toda a energia cinética inicial; o trabalho total W feito pelas forças de frenagem será o negativo dessa energia inicial:
W = -\Delta K = -K_{\text{inicial}}.
  • Portanto precisamos calcular a energia cinética inicial total K_{\text{inicial}} = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}}.

Passo 3

Fórmulas e explicação das parcelas de energia:
  • Energia cinética de translação do centro de massa:
K_{\text{trans}}=\tfrac{1}{2} M v^{2},
onde M é a massa e v a velocidade do centro de massa.
  • Energia cinética de rotação em torno do eixo central:
K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2} I \omega^{2},
onde I é o momento de inércia do cilindro em relação ao eixo central e \omega é a velocidade angular.
  • Para um cilindro homogêneo (sólido) de raio R, o momento de inércia em torno do eixo central é conhecido e vale
I=\tfrac{1}{2} M R^{2}.
  • Como o cilindro rola sem escorregar, a relação entre velocidade linear e angular é
v=\omega R \quad\Longrightarrow\quad \omega=\dfrac{v}{R}.

Passo 4

Substituir \,I e \omega em K_{\text{rot}} e simplificar (mostrando contas):
  • Começando em K_{\text{rot}}:
K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2} I \omega^{2}=\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2} M R^{2}\right)\left(\dfrac{v}{R}\right)^{2}.
  • Simplificando:
K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2} M R^{2}\cdot\dfrac{v^{2}}{R^{2}}=\tfrac{1}{4} M v^{2}.

Passo 5

Calcular numericamente K_{\text{trans}} e K_{\text{rot}}:
  • Energia de translação:
K_{\text{trans}}=\tfrac{1}{2} M v^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 50\cdot 6^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 50\cdot 36=25\cdot 36=900\\ \mathrm{J}.
  • Energia de rotação:
K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{4} M v^{2}=\tfrac{1}{4}\cdot 50\cdot 36=12{,}5\cdot 36=450\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Energia cinética total inicial e trabalho para parar:
  • Soma das parcelas:
K_{\text{inicial}}=K_{\text{trans}}+K_{\text{rot}}=900+450=1350\\ \mathrm{J}.
  • Pelo teorema trabalho-energia, o trabalho realizado pelas forças de frenagem para reduzir a energia a zero é o negativo da energia inicial:
W=-K_{\text{inicial}}=-1350\\ \mathrm{J}.

Resposta

W=-1350\\ \mathrm{J}

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