Calcule o momento de inércia de um anel circular de massa M e raio R em relação a um eixo que passa pelo centro de massa e é perpendicular ao plano do anel;

Passo 1

O enunciado pede: calcular o momento de inércia de um anel circular (anel fino) de massa M e raio R em relação a um eixo que passa pelo centro do anel e é perpendicular ao plano do anel.
Informações dadas:
  • Massa do anel: M.
  • Raio do anel: R.
  • Eixo: passa pelo centro e é perpendicular ao plano do anel (ou seja, eixo que corta o círculo no seu centro, saindo “para cima”).

Passo 2

Definição que vamos usar: o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo é dado por
I=\int r^{2}\,dm,
onde:
  • I é o momento de inércia em relação ao eixo escolhido;
  • r é a distância de cada elemento de massa dm até o eixo (sempre a distância perpendicular ao eixo);
  • a integral soma r^{2}\,dm por toda a massa do corpo.
Intuição rápida: r^{2}\,dm diz que massa mais longe do eixo contribui muito mais para a resistência à rotação (por causa do quadrado).

Passo 3

Observação específica para o anel fino: todos os elementos de massa do anel estão à mesma distância R do eixo (porque o eixo passa pelo centro e é perpendicular ao plano do anel). Portanto, para qualquer elemento dm vale r=R constante. Isso simplifica imediatamente a integral:
I=\int r^{2}\,dm=\int R^{2}\,dm = R^{2}\int dm.
Aqui \int dm é simplesmente a massa total do anel, que é M. Mas vou mostrar também a versão integral parametrizada para ficar bem claro como fazer numa prova.

Passo 4

Parametrização (forma formal usada em prova): considerar a circulação do anel por um ângulo polar \theta que varia de 0 a 2\pi. Definir a densidade linear de massa do anel:
\lambda=\frac{M}{\text{comprimento do anel}}=\frac{M}{2\pi R}.
Um pequeno segmento de arco com ângulo \,d\theta tem comprimento
ds=R\,d\theta,
logo sua massa é
dm=\lambda\,ds=\lambda R\,d\theta.

Passo 5

Agora calcular a integral usando r=R para todo elemento:
I=\int r^{2}\,dm=\int_{0}^{2\pi} R^{2}\,(\lambda R\,d\theta)=R^{3}\lambda\int_{0}^{2\pi} d\theta.
A integral angular é simples:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi,
então
I=R^{3}\lambda\cdot 2\pi.
Substituindo \lambda=\dfrac{M}{2\pi R} aparece:
I=R^{3}\cdot\frac{M}{2\pi R}\cdot 2\pi.
Fazendo as simplificações:
I = R^{3}\cdot\frac{M}{R} = M R^{2}.

Passo 6

Interpretação e comentário final: o momento de inércia do anel fino em relação ao eixo central perpendicular ao plano é igual a M R^{2}. Isso faz sentido fisicamente porque todo o anel está à mesma distância R do eixo, então o corpo se comporta, em termos de inércia rotacional, como se toda a massa estivesse concentrada em um ponto (ou vários pontos) a distância R — o que dá I=M R^{2}. Uma comparação rápida: é o mesmo momento de inércia que um ponto de massa M localizado a distância R do eixo.

Resposta

I = M R^{2}

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