Calcule o momento de inércia de um anel circular de massa
e raio
em relação a um eixo que passa pelo centro de massa e é perpendicular ao plano do anel;
Passo 1
O enunciado pede: calcular o momento de inércia de um anel circular (anel fino) de massa
e raio
em relação a um eixo que passa pelo centro do anel e é perpendicular ao plano do anel.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Massa do anel:
. - Raio do anel:
. - Eixo: passa pelo centro e é perpendicular ao plano do anel (ou seja, eixo que corta o círculo no seu centro, saindo “para cima”).
Passo 2
Definição que vamos usar: o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo é dado por
onde:
-
é o momento de inércia em relação ao eixo escolhido; -
é a distância de cada elemento de massa até o eixo (sempre a distância perpendicular ao eixo); - a integral soma
por toda a massa do corpo.
Intuição rápida:
diz que massa mais longe do eixo contribui muito mais para a resistência à rotação (por causa do quadrado).
Passo 3
Observação específica para o anel fino: todos os elementos de massa do anel estão à mesma distância
do eixo (porque o eixo passa pelo centro e é perpendicular ao plano do anel). Portanto, para qualquer elemento
vale
constante. Isso simplifica imediatamente a integral:
Aqui
é simplesmente a massa total do anel, que é
. Mas vou mostrar também a versão integral parametrizada para ficar bem claro como fazer numa prova.
Passo 4
Parametrização (forma formal usada em prova): considerar a circulação do anel por um ângulo polar
que varia de
a
. Definir a densidade linear de massa do anel:
Um pequeno segmento de arco com ângulo
tem comprimento
logo sua massa é
Passo 5
Agora calcular a integral usando
para todo elemento:
A integral angular é simples:
então
Substituindo
aparece:
Fazendo as simplificações:
Passo 6
Interpretação e comentário final: o momento de inércia do anel fino em relação ao eixo central perpendicular ao plano é igual a
. Isso faz sentido fisicamente porque todo o anel está à mesma distância
do eixo, então o corpo se comporta, em termos de inércia rotacional, como se toda a massa estivesse concentrada em um ponto (ou vários pontos) a distância
— o que dá
. Uma comparação rápida: é o mesmo momento de inércia que um ponto de massa
localizado a distância
do eixo.