O cilindro homogêneo tem massa m , comprimento l e raio R. Determine o elemento de integração do momento lx.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: “Um cilindro homogêneo de massa m, comprimento l e raio R. Determine o elemento de integração do momento lx.”
Conteúdo: momento de inércia (chamado aqui de lx) de um corpo contínuo.
O que vamos precisar:
  1. Densidade volumétrica do cilindro, rho = mV.
  2. A expressão do elemento de massa diferencial dm em coordenadas cilíndricas.
  3. A forma do elemento de momento de inércia diferencial d lx (que é r^2,dm quando o eixo x passa pelo centro e o raio corresponde à distância ao eixo).

Passo 2

Primeiro, vamos achar a densidade volumétrica. O volume do cilindro é
V = pi R^2,l
Como a massa total é m,
rho = mV = mpi R^2,l

Passo 3

Para montar a integral do momento de inércia lx, precisamos do elemento de massa dm em coordenadas cilíndricas (r,theta,x).
Num cilindro,
dm = rho,dV,
e o volume diferencial é
dV = r,dr,dtheta,dx

Passo 4

O momento de inércia diferencial em relação ao eixo x vale
d lx = r^2,dm,
pois cada “tijolinho” de massa a uma distância r do eixo contribui com r^2,dm.
Substituindo dm = rho,r,dr,dtheta,dx, temos
d lx = r^2;l(rho,r,dr,dtheta,dxr) = rho,r^3,dr,dtheta,dx

Passo 5

Agora é só colocar rho = dfracmpi R^2,l dentro de d lx:
d lx = mpi R^2,l;r^3,dr,dtheta,dx

Resposta

O elemento de integração do momento lx é
boxedd lx = mpi R^2,l;r^3,dr,dtheta,dx

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