O cilindro homogêneo tem massa m , comprimento
e raio
. Determine o elemento de integração do momento
.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz: “Um cilindro homogêneo de massa
, comprimento
e raio
. Determine o elemento de integração do momento
.”
Conteúdo: momento de inércia (chamado aqui de ) de um corpo contínuo.
O que vamos precisar:
Conteúdo: momento de inércia (chamado aqui de
O que vamos precisar:
- Densidade volumétrica do cilindro,
. - A expressão do elemento de massa diferencial
em coordenadas cilíndricas. - A forma do elemento de momento de inércia diferencial
(que é quando o eixo passa pelo centro e o raio corresponde à distância ao eixo).
Passo 2
Primeiro, vamos achar a densidade volumétrica. O volume do cilindro é
Como a massa total é
Passo 3
Para montar a integral do momento de inércia
, precisamos do elemento de massa
em coordenadas cilíndricas
.
Num cilindro,
Num cilindro,
e o volume diferencial é
Passo 4
O momento de inércia diferencial em relação ao eixo
vale
pois cada “tijolinho” de massa a uma distância
Substituindo
Passo 5
Agora é só colocar
dentro de
:
Resposta
O elemento de integração do momento
é