Considere uma casca cilíndrica infinita, de seção circular com raio R. Por simplicidade, suponha que o eixo z coincide com o eixo da casca. Esta casca possui uma densidade de carga superficial uniforme sigma.
Aplicando a lei de Gauss, calcule o campo elétrico em todo o espaço. Explique claramente as passagens desenvolvidas e as simetrias utilizadas em sua solução.

Passo 1

Beleza, então o problema diz o seguinte: temos uma casca cilíndrica infinita de raio ointS Ecdot dA ;=; Qintvarepsilon0 , com densidade de carga superficial uniforme . O eixo passa bem pelo centro do cilindro, e a gente quer achar o campo elétrico em todo lugar (dentro e fora da casca) usando a lei de Gauss.
Conteúdo que vamos usar: eletrostática básica, simetria cilíndrica e, claro, a Lei de Gauss

Passo 2

Primeiro, façamos Phi = oint Ecdot dA = E(r);l(área lateralr) = E(r),(2pi r L) , ou seja, um ponto dentro do cilindro oco.
  1. Simetria: o campo só pode apontar radialmente ( Qint = 0 ) e depender só de E(r),2pi r L = 0varepsilon0 ;Longrightarrow; E(r) = 0para r.
  2. Escolho uma superfície gaussiana: um cilindro de raio (com ) e comprimento .
  3. Calculo o fluxo:
á
  1. Qual a carga interna ? Como não há carga no interior (toda carga está na casca de raio ),
  1. Pela Lei de Gauss,

Passo 3

Agora vamos para Phi = E(r),2pi r L , um ponto fora da casca.
  1. Mesma simetria: Qint ;=; sigma times (área da casca) ;=;sigma,(2pi R L) radial e só função de E(r),2pi r L ;=;sigma,2pi R Lvarepsilon0 ;Longrightarrow; E(r) = sigma Rvarepsilon0,r para r>R .
  2. Mesma gaussiana: cilindro de raio ( ) e comprimento .
  3. Fluxo pela lateral:
  1. Carga interna: agora o cilindro engloba toda a casca de raio . A carga por comprimento é
á
  1. Lei de Gauss:

Resposta

O campo elétrico em todo o espaço é
E(r) = 0, & r < R,[6pt] dfracsigma Rvarepsilon0,r;hat er, & r > R

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