Um cilindro, longo e reto transporta uma densidade de corrente J e tem o seu eixo orientado na direção z. A densidade de corrente é dada por:
J=c br e^(r-a) / dea
onde r é a distância radial do cilindro.
Obtenha uma expressão para a corrente I contida em um cilindro de seção transversal com raio r <= a e centrada no eixo do cilindro. Expresse sua resposta em função de I0.

Passo 1

Beleza, o exercício fala de um cilindro longo cujo eixo é o vec J(r)= dfracbr,e^(r-a)/dea e que tem densidade de corrente
O que a gente quer é a corrente total que passa pela seção circular de raio qualquer .
Conteúdo: integração em coordenadas cilíndricas e definição de corrente a partir da densidade de corrente.

Passo 2

Pra achar a corrente num raio I(r)=integral duplaárea vec Jcdot dvec A , lembra que
I(r)=integral0^2pi!integral0^r J(r'),r',dr',dtheta =;2piintegral0^rJ(r'),r',dr' á
Na seção transversal está alinhado com e . Em coordenadas cilíndricas isso vira

Passo 3

Substituindo I(r) =2piintegral0^rbr',e^(r'-a)/de dentro de integral0^re^(r'-a)/de:
I(r)=2pi b,de
Agora é só integrar:
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Passo 4

Definimos a corrente total I0=I(a) =2pi b,de como I(r)I0 =e^(r-a)/de, isto é
Agora, para escrever em função de , dividimos a expressão de por essa de :

Resposta

boxed,I(r)=I0,e^(r-a)/de

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