Um cilindro, longo e reto transporta uma densidade de corrente e tem o seu eixo orientado na direção z. A densidade de corrente é dada por:
onde r é a distância radial do cilindro.
Obtenha uma expressão para a corrente I contida em um cilindro de seção transversal com raio e centrada no eixo do cilindro. Expresse sua resposta em função de .
Passo 1
Beleza, o exercício fala de um cilindro longo cujo eixo é o e que tem densidade de corrente
O que a gente quer é a corrente total que passa pela seção circular de raio qualquer .
Conteúdo: integração em coordenadas cilíndricas e definição de corrente a partir da densidade de corrente.
Passo 2
Pra achar a corrente num raio I(r)=integral duplaárea vec Jcdot dvec A , lembra que
I(r)=integral0^2pi!integral0^r J(r'),r',dr',dtheta =;2piintegral0^rJ(r'),r',dr' á
Na seção transversal está alinhado com e . Em coordenadas cilíndricas isso vira
Passo 3
Substituindo I(r) =2piintegral0^rbr',e^(r'-a)/de dentro de integral0^re^(r'-a)/de:
I(r)=2pi b,de
Agora é só integrar:
Logo
Passo 4
Definimos a corrente total I0=I(a) =2pi b,de como I(r)I0 =e^(r-a)/de, isto é
Agora, para escrever em função de , dividimos a expressão de por essa de :