Um cilindro, longo e reto transporta uma densidade de corrente J e tem o seu eixo orientado na direção z. A densidade de corrente é dada por:
J=c br e^(r-a) / dea
onde r é a distância radial do cilindro.
Obtenha uma expressão para o campo magnético na região r <= a. Expresse sua resposta em função de I0.

Passo 1

Beleza, o problema diz: temos um cilindro longo com eixo em z, e a densidade de corrente (ao longo de z) é
vec J = Jz(r),hat z com Jz(r) = dfracbr,e^r - adea
A missão é achar o campo magnético para e dar a resposta em função de (o total de corrente no fio). Vamos usar a Lei de Ampère e simetria cilíndrica.

Passo 2

Teoria usada: Lei integral de Ampère, que diz
oint vec Bcdot dvecell ;=;mu0,Irm int,
onde oint vec Bcdot dvecell = Bphi(r),(2pi r) é a corrente total que passa pelo laço de integração.
Por simetria cilíndrica e porque só existe corrente em z, o campo magnético será tangencial (direção ) e depende só de . Então escolhemos um caminho circular de raio , onde . A integral vira

Passo 3

Precisamos de Irm int(r) =integralárea r'<= rJz(r'),dA =integral0^r l(tfracbr'e^r'-ade, a corrente que fica dentro desse raio . Isso vem de
á
Note que o do denominador cancela com o da área.

Passo 4

Vamos calcular a integral:
integral0^r e^r'-ade
Logo
Irm int(r) =2pi b,de

Passo 5

Agora aplicamos Ampère:
Bphi(r),(2pi r) =mu0,Irm int(r) =mu0;2pi b,de
Isolando Bphi(r) =mu0,b,de:

Passo 6

Faltam só reescrever em função de I0 = Irm int(a) =2pi b,de, que é a corrente total no fio ( b =I02pide):
Desse modo
Substituindo em :

Resposta

boxed Bphi(r) =mu0 I02pi,r; ,e^tfracr-ade

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