O poder de resoluçāo de um microscóplo depende do comprimento de onda utilizado. Se você quiser ver um átomo, um comprimento de onda de aproximadamente 1,00 times 10^-11 m. Se utilizarmos elétrons em um microscópio eletrônico, ignorando correçōes relativisticas, qual é a energia cinética mínima necessária dos elétrons para que tenhamos esse comprimento de onda?
Escolha uma opçāo:
a. 15,1 keV
b. 151 keV
c. 1,51 KeV
d. 1,51 MeV
e. 151 eV

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre microscópios e como o poder de resolução deles depende do comprimento de onda que usamos. Especificamente, queremos ver átomos, e para isso, precisamos de um comprimento de onda de aproximadamente 1,00 times 10^-11 metros. A pergunta quer saber qual a energia cinética mínima que os elétrons devem ter para alcançar esse comprimento de onda, usando um microscópio eletrônico e ignorando efeitos relativísticos. Para resolver isso, vamos usar a física quântica, mais precisamente a relação de de Broglie, que conecta o comprimento de onda de uma partícula com seu momentum.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a relação de de Broglie, que diz que o comprimento de onda ( lambda) de uma partícula é igual a h dividido pelo seu momentum ( p):
lambda = hp
Onde h é a constante de Planck, que vale aproximadamente 6,626 times 10^-34 J·s.

Passo 3

O momentum ( p) de uma partícula está relacionado à sua massa ( m) e velocidade ( v) pela fórmula:
p = m times v
Mas como estamos interessados na energia cinética ( Ecin), podemos relacionar a energia cinética com o momentum. A energia cinética de uma partícula não-relativística é dada por:
Ecin = p^22m

Passo 4

Agora, substituímos a expressão do momentum da primeira equação na segunda para relacionar energia cinética com o comprimento de onda:
Ecin = (h/lambda)^22m
Simplificando:
Ecin = h^22mlambda^2

Passo 5

Vamos agora substituir os valores conhecidos na equação:
  • Constante de Planck ( h): 6,626 times 10^-34 J·s
  • Massa do elétron ( m): 9,109 times 10^-31 kg
  • Comprimento de onda ( lambda): 1,00 times 10^-11 m
Substituindo:
Ecin = (6,626 times 10^-34)^22 times 9,109 times 10^-31 times (1,00 times 10^-11)^2

Passo 6

Calculando o numerador:
h^2 = (6,626 times 10^-34)^2 = 4,39 times 10^-67 J^2s^2
Calculando o denominador:
2mlambda^2 = 2 times 9,109 times 10^-31 times (1,00 times 10^-11)^2 = 2 times 9,109 times 10^-31 times 1,00 times 10^-22 = 1,822 times 10^-52 kgcdotm^2

Passo 7

Dividindo o numerador pelo denominador:
Ecin = 4,39 times 10^-671,822 times 10^-52 = 2,41 times 10^-15 J

Passo 8

Agora, queremos a energia em elétron-volts (eV), já que as opções estão nessa unidade. Sabemos que:
1 eV = 1,602 times 10^-19 J
Então, convertendo J para eV:
Ecin = 2,41 times 10^-151,602 times 10^-19 approx 15,05 times 10^3 eV = 15,05 keV

Resposta

A energia cinética mínima necessária dos elétrons é aproximadamente 15,1 keV. Portanto, a opção a. 15,1 keV é a correta.

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