Um cilindro maciço está no compartimento de um caminhão, parado. O caminhão acelera para frente. Suponha atrito suficiente para impedir deslizamento.
a) Descreva o movimento do cilindro no referencial do solo.
b) Determine a condição de rolamento puro para o cilindro.
c) Como as energias cinéticas translacional e rotacional se distribuem?

Passo 1

O enunciado trata de um cilindro maciço de massa m e raio R apoiado no assoalho de um caminhão que acelera com aceleração conhecida a (para a frente). Há atrito estático suficiente para impedir deslizamento.
Conteúdo: dinâmica de corpo rígido (equações de Newton e de Torques) e condição de rolamento sem escorregamento.

Passo 2

Escrevemos, no referencial do solo, as equações de translação e rotação do cilindro, e a condição de rolamento sem deslize relativo ao assoalho que se move com aceleração a.
  • Equação de Newton para a translação do CM, com força de atrito f para a frente:
m\,a_{\rm cm}=f.
  • Equação de torques em torno do CM, tomando sinal positivo para giro no sentido que faz o ponto de contato “puxar” o cilindro sem deslizar (isto é, giro anti-horário):
I\,\alpha = f\,R,
sendo I=\tfrac12\,mR^2 e \alpha a aceleração angular.
  • Condição de não-deslizamento entre cilindro e assoalho (aceleração do ponto de contato igual à aceleração do caminhão a):
a_{\rm cm} + \alpha\,R = a.
Substituindo f=m\,a_{\rm cm} em I\,\alpha=fR
\alpha=\frac{f\,R}{I}=\frac{m\,a_{\rm cm}\,R}{\tfrac12\,mR^2} =\frac{2\,a_{\rm cm}}{R}.
Na condição de não-deslizamento:
a_{\rm cm}+\Bigl(\frac{2\,a_{\rm cm}}{R}\Bigr)R = a \;\;\Longrightarrow\;\; 3\,a_{\rm cm}=a \;\;\Longrightarrow\;\; a_{\rm cm}=\frac{a}{3},
e
\alpha=\frac{2\,a_{\rm cm}}{R}=\frac{2}{3}\,\frac{a}{R}.

Passo 3

Para que não ocorra escorregamento o atrito estático necessário f=m\,a_{\rm cm}=m\,a/3 deve satisfazer
f\le\mu_s\,m\,g \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{m\,a}{3}\le\mu_s\,m\,g \;\;\Longrightarrow\;\; \mu_s\ge\frac{a}{3\,g}.

Passo 4

Após algum tempo, o cilindro atinge velocidade do CM v_{\rm cm} e velocidade angular \omega=v_{\rm cm}/R. As energias cinéticas valem
K_{\rm trans}=\tfrac12\,m\,v_{\rm cm}^2, \qquad K_{\rm rot}=\tfrac12\,I\,\omega^2 =\tfrac12\bigl(\tfrac12mR^2\bigr)\Bigl(\frac{v_{\rm cm}}{R}\Bigr)^2 =\tfrac14\,m\,v_{\rm cm}^2.
Logo
\frac{K_{\rm rot}}{K_{\rm trans}} =\frac{\tfrac14\,m\,v_{\rm cm}^2}{\tfrac12\,m\,v_{\rm cm}^2} =\frac12,
i.e. K_{\rm trans}:K_{\rm rot}=2:1.

Resposta

(a) No referencial do solo o cilindro acelera para frente com
a_{\rm cm}=\frac{a}{3},
rola sem deslizar com aceleração angular \displaystyle\alpha=\tfrac{2}{3}\,\frac{a}{R}.
(b) A condição de rolamento puro (sem escorregar) é
\mu_s\ge \frac{a}{3\,g}.
(c) A energia cinética fica dividida em
K_{\rm trans}=\tfrac12\,m\,v^2, \qquad K_{\rm rot}=\tfrac14\,m\,v^2,
isto é, K_{\rm trans}:K_{\rm rot}=2:1 (ou K_{\rm trans}=\tfrac23\,K_{\rm tot}, K_{\rm rot}=\tfrac13\,K_{\rm tot}).

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