Considere uma barra homogênea presa em uma extremidade, oscilando como pêndulo físico.
a) Derive o período de oscilação a partir do torque restaurador.
b) O que aconteceria com o período se a barra fosse dobrada ao meio, mantendo a massa total?
c) Que analogia pode ser feita com o pêndulo simples?

Passo 1

O enunciado trata de uma barra uniforme de massa M e comprimento L presa em uma extremidade, oscilando com pequenas oscilações. O conteúdo é pêndulo físico, e vamos usar torque restaurador e momento de inércia para obter a equação de movimento e extrair o período de oscilação.

Passo 2

Calcular momento de inércia em relação ao ponto de apoio e torque restaurador. O momento de inércia de uma barra uniforme girando em torno de uma extremidade é
I = \frac{1}{3} M L^2.
A força peso Mg age no centro de massa a uma distância d = L/2. O torque restaurador é
\tau = -\,Mg\,\frac{L}{2}\,\sin\theta.
Para pequenas oscilações aproximamos \sin\theta\approx\theta. A equação de movimento rotacional é
I\,\ddot\theta = -\,Mg\,\frac{L}{2}\,\theta.

Passo 3

Usar a equação de movimento para identificar a frequência angular e o período. Da equação
\ddot\theta + \frac{Mg\,(L/2)}{I}\,\theta = 0
extraímos
\omega^2 = \frac{Mg\,(L/2)}{I} = \frac{Mg\,(L/2)}{\tfrac{1}{3}M L^2} = \frac{3g}{2L}.
Logo, o período vale
T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{\omega^2}} = 2\pi \sqrt{\frac{2L}{3g}}.

Passo 4

Se dobrarmos a barra ao meio mantendo a massa M, então o comprimento passa a L/2. O novo momento de inércia é
I' = \frac{1}{3}\,M\Bigl(\frac{L}{2}\Bigr)^2 = \frac{1}{12} M L^2
e a distância do centro de massa ao apoio é d' = L/4. Repetindo o cálculo,
\omega'^2 = \frac{Mg\,d'}{I'} = \frac{Mg\,(L/4)}{\tfrac{1}{12}M L^2} = \frac{3g}{L},
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T' = 2\pi \sqrt{\frac{1}{\omega'^2}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{3g}} = \frac{T}{\sqrt{2}}.
Ou seja, o período diminui por um fator \sqrt{2}.

Passo 5

A analogia com o pêndulo simples se faz atribuindo ao pêndulo físico um comprimento efetivo
\ell_{\mathrm{ef}} = \frac{I}{M d},
pois para o pêndulo simples T = 2\pi\sqrt{\ell/g}. No caso da barra original temos
\ell_{\mathrm{ef}} = \frac{\tfrac{1}{3}M L^2}{M\,(L/2)} = \frac{2L}{3}.

Resposta

a) T = 2\pi\sqrt{\tfrac{2L}{3g}}.
b) Dobrando a barra, o período passa a
T' = \frac{T}{\sqrt{2}},
ou seja, fica menor por um fator \sqrt{2}.
c) A analogia é com um pêndulo simples de comprimento efetivo \ell_{\mathrm{ef}} = I/(M d), que para a barra vale \ell_{\mathrm{ef}}=2L/3.

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