Considere uma barra homogênea presa em uma extremidade, oscilando como pêndulo físico.
a) Derive o período de oscilação a partir do torque restaurador.
b) O que aconteceria com o período se a barra fosse dobrada ao meio, mantendo a massa total?
c) Que analogia pode ser feita com o pêndulo simples?
a) Derive o período de oscilação a partir do torque restaurador.
b) O que aconteceria com o período se a barra fosse dobrada ao meio, mantendo a massa total?
c) Que analogia pode ser feita com o pêndulo simples?
Passo 1
O enunciado trata de uma barra uniforme de massa
e comprimento
presa em uma extremidade, oscilando com pequenas oscilações. O conteúdo é pêndulo físico, e vamos usar torque restaurador e momento de inércia para obter a equação de movimento e extrair o período de oscilação.
Passo 2
Calcular momento de inércia em relação ao ponto de apoio e torque restaurador. O momento de inércia de uma barra uniforme girando em torno de uma extremidade é
A força peso
age no centro de massa a uma distância
. O torque restaurador é
Para pequenas oscilações aproximamos
. A equação de movimento rotacional é
Passo 3
Usar a equação de movimento para identificar a frequência angular e o período. Da equação
extraímos
Logo, o período vale
Passo 4
Se dobrarmos a barra ao meio mantendo a massa
, então o comprimento passa a
. O novo momento de inércia é
e a distância do centro de massa ao apoio é
. Repetindo o cálculo,
logo
Ou seja, o período diminui por um fator
.
Passo 5
A analogia com o pêndulo simples se faz atribuindo ao pêndulo físico um comprimento efetivo
pois para o pêndulo simples
. No caso da barra original temos
Resposta
a)
.
b) Dobrando a barra, o período passa a
b) Dobrando a barra, o período passa a
ou seja, fica menor por um fator
.
c) A analogia é com um pêndulo simples de comprimento efetivo , que para a barra vale
.
c) A analogia é com um pêndulo simples de comprimento efetivo