Uma polia composta (duplo raio: R_{1}=0,2 \mathrm{~m}, R_{2}=0,1 \mathrm{~m} ) gira ao suspender dois blocos de massas diferentes.
a) Estabeleça as equações do movimento do sistema.
b) Determine a aceleração dos blocos.
c) Como o momento de inércia da polia influencia a dinâmica?

Passo 1

O enunciado descreve um sistema Atwood com polia composta de raios diferentes R_{1}=0,2,m e R_{2}=0,1,m, pendurando dois blocos de massas m_{1} e m_{2}. O que precisamos é:
– As equações de movimento de cada bloco (segunda lei de Newton).
– A equação de rotação da polia (torque e momento de inércia I).
– A relação cinemática entre aceleração linear a e aceleração angular \alpha.

Passo 2

Desenhando os diagramas de corpo livre: para o bloco de massa m_{1} escolhemos como positivo o sentido para baixo, e para o bloco de massa m_{2} o sentido para cima (ambos com a mesma aceleração escalar a, pois quando um desce o outro sobe).
Para m_{1}:
m_{1}g - T_{1} = m_{1}a.
Para m_{2}:
T_{2} - m_{2}g = m_{2}a.
Aqui T_{1} é a tensão no lado de raio R_{1} e T_{2} no lado de raio R_{2}.

Passo 3

Na polia composta, o torque resultante é a soma algébrica dos torques de T_{1} e T_{2}. Tomando rotação positiva de modo que o desenrolar em R_{1} seja \alpha>0, temos
T_{1}R_{1} - T_{2}R_{2} = I\,\alpha.
Além disso, pela cinemática sem deslizamento no raio R_{1},
a = \alpha\,R_{1} \qquad\Longrightarrow\qquad \alpha = \frac{a}{R_{1}}.

Passo 4

Substituímos T_{1}=m_{1}g - m_{1}a e T_{2}=m_{2}g + m_{2}a na equação de torque, usando \alpha=a/R_{1}:
\bigl(m_{1}g - m_{1}a\bigr)R_{1} - \bigl(m_{2}g + m_{2}a\bigr)R_{2} = I\,\frac{a}{R_{1}}.
Multiplicando tudo por R_{1} e reorganizando em a, obtemos
\bigl(m_{1}R_{1}^{2}-m_{2}R_{2}R_{1}\bigr)g = a\Bigl(m_{1}R_{1}^{2}+m_{2}R_{2}R_{1}+I\Bigr).
Logo, a aceleração escalar do sistema é
\boxed{ a = \frac{\bigl(m_{1}R_{1}^{2}-m_{2}R_{2}R_{1}\bigr)\,g} {m_{1}R_{1}^{2}+m_{2}R_{2}R_{1}+I} }.

Passo 5

O termo I aparece no denominador da expressão de a. Quanto maior o momento de inércia da polia, maior a “resistência” à mudança de rotação, e menor será a aceleração dos blocos. No limite I\to0 recuperamos o caso de polia sem inércia, e a cresce ao valor que depende só das massas e dos raios.

Resposta

a)
\begin{cases} m_{1}g - T_{1} = m_{1}a,\\\ T_{2} - m_{2}g = m_{2}a,\\\ T_{1}R_{1} - T_{2}R_{2} = I\,\dfrac{a}{R_{1}},\\\ a = \alpha\,R_{1}. \end{cases}
b)
a = \frac{\bigl(m_{1}R_{1}^{2}-m_{2}R_{2}R_{1}\bigr)\,g} {m_{1}R_{1}^{2}+m_{2}R_{2}R_{1}+I}.
c)
O momento de inércia I reduz a aceleração do sistema: quanto maior I, mais “custoso” é acelerar a polia e menor fica a.

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