Uma polia composta (duplo raio: R_{1}=0,2 \mathrm{~m}, R_{2}=0,1 \mathrm{~m} ) gira ao suspender dois blocos de massas diferentes.
a) Estabeleça as equações do movimento do sistema.
b) Determine a aceleração dos blocos.
c) Como o momento de inércia da polia influencia a dinâmica?
Passo 1
O enunciado descreve um sistema Atwood com polia composta de raios diferentes R_{1}=0,2,m e R_{2}=0,1,m, pendurando dois blocos de massas m_{1} e m_{2}. O que precisamos é:
– As equações de movimento de cada bloco (segunda lei de Newton).
– A equação de rotação da polia (torque e momento de inércia I).
– A relação cinemática entre aceleração linear a e aceleração angular \alpha.
Passo 2
Desenhando os diagramas de corpo livre: para o bloco de massa m_{1} escolhemos como positivo o sentido para baixo, e para o bloco de massa m_{2} o sentido para cima (ambos com a mesma aceleração escalar a, pois quando um desce o outro sobe).
Para m_{1}:
m_{1}g - T_{1} = m_{1}a.
Para m_{2}:
T_{2} - m_{2}g = m_{2}a.
Aqui T_{1} é a tensão no lado de raio R_{1} e T_{2} no lado de raio R_{2}.
Passo 3
Na polia composta, o torque resultante é a soma algébrica dos torques de T_{1} e T_{2}. Tomando rotação positiva de modo que o desenrolar em R_{1} seja \alpha>0, temos
T_{1}R_{1} - T_{2}R_{2} = I\,\alpha.
Além disso, pela cinemática sem deslizamento no raio R_{1},
a = \alpha\,R_{1} \qquad\Longrightarrow\qquad \alpha = \frac{a}{R_{1}}.
Passo 4
Substituímos T_{1}=m_{1}g - m_{1}a e T_{2}=m_{2}g + m_{2}a na equação de torque, usando \alpha=a/R_{1}:
\boxed{ a = \frac{\bigl(m_{1}R_{1}^{2}-m_{2}R_{2}R_{1}\bigr)\,g} {m_{1}R_{1}^{2}+m_{2}R_{2}R_{1}+I} }.
Passo 5
O termo I aparece no denominador da expressão de a. Quanto maior o momento de inércia da polia, maior a “resistência” à mudança de rotação, e menor será a aceleração dos blocos. No limite I\to0 recuperamos o caso de polia sem inércia, e a cresce ao valor que depende só das massas e dos raios.