Você desmonta um relógio antigo e encontra três engrenagens: A (raio 2 cm ), B (raio 4 cm ), e C (raio 1cm). A gira a \omega=6 \mathrm{rad} / \mathrm{s} no sentido anti-horário e aciona as outras.
a) Determine as velocidades angulares de B e C, com seus respectivos sentidos.
b) Qual engrenagem possui maior energia cinética rotacional (assumindo massas proporcionais aos quadrados dos raios)?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos três engrenagens em série – A de raio R_A=2 cm, B de raio R_B=4 cm e C de raio R_C=1 cm. A gira em sentido anti-horário com \omega_A=6 rad/s e aciona B, que por sua vez aciona C. O conteúdo necessário é a cinemática de engrenagens (igualdade de velocidade tangencial e inversão de sentido) e depois a comparação de energia cinética rotacional, supondo massa proporcional a R^2.

Passo 2

Quando duas engrenagens estão em contato, as velocidades tangenciais no ponto de contato se igualam:
\omega_A\,R_A \;=\;\omega_B\,R_B.
Além disso, o sentido de rotação de B é oposto ao de A.

Passo 3

Isolando \omega_B:
\omega_B = \frac{\omega_A\,R_A}{R_B} = \frac{6\;\text{rad/s}\times 2\;\text{cm}}{4\;\text{cm}} = 3\;\text{rad/s}.
Como A é anti-horário, B será horário. Logo:
\omega_B = 3\;\text{rad/s (horário)}.á

Passo 4

De forma análoga, B aciona C, então
\omega_B\,R_B = \omega_C\,R_C,
com inversão de sentido novamente (C roda oposto a B). Assim,
\omega_C = \frac{\omega_B\,R_B}{R_C} = \frac{3\;\text{rad/s}\times 4\;\text{cm}}{1\;\text{cm}} =12\;\text{rad/s}.
Como B é horário, C será anti-horário. Então:
\omega_C = 12\;\text{rad/s (anti-horário)}.á

Passo 5

Energia cinética rotacional de cada engrenagem:
K = \tfrac12\,I\,\omega^2.
Supondo cada massa m\propto R^2 e I\propto m\,R^2, segue I\propto R^4. Logo, K\propto R^4\,\omega^2. Calculando proporcionalmente:
K_A\propto 2^4\cdot6^2 =16\cdot36=576, \quad K_B\propto 4^4\cdot3^2 =256\cdot9=2304, \quad K_C\propto 1^4\cdot12^2=1\cdot144=144.
O maior valor é o de B.

Resposta

a) \omega_B = 3 rad/s, horário; \omega_C = 12 rad/s, anti-horário.
b) A engrenagem B possui a maior energia cinética rotacional.

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