Um cilindro maciço, infinitamente longo, não condutor, tem uma distribuição volumétrica de carga radial e não uniforme dada por \rho(r)= \mathrm{Ar}^{2}, determine:
a) A carga contida num cilindro de raio r<R;
b) A expressão para o campo elétrico para a região r>R, onde r é a distância ao eixo da distribuição.

Passo 1

O enunciado diz que temos um cilindro maciço, infinito e não condutor, com densidade de carga radial não uniforme \rho(r)=A\,r^{2}. Precisamos encontrar:
a) a carga total contida em um cilindro de raio r<R;
b) o campo elétrico para a região externa, r>R.
Como o problema é de simetria cilíndrica e o cilindro é infinito, vamos usar a Lei de Gauss e integrar a densidade para achar a carga.

Passo 2

Para achar a carga contida até um raio genérico r<R, considere um trecho de comprimento L do cilindro. O volume de um casquete cilíndrico de espessura dr' é
dV = 2\pi\,r'\,L\,dr'.
A densidade de carga é \rho(r')=A\,r'^{2}, então a carga elementar é
dQ = \rho(r')\,dV = A\,r'^{2}\,2\pi\,r'\,L\,dr' = 2\pi\,A\,L\,r'^{3}\,dr'.
Integrando de r'=0 até r'=r, obtemos
Q(r<R) = \int_{0}^{r}2\pi\,A\,L\,r'^{3}\,dr' = 2\pi\,A\,L\;\frac{r^{4}}{4} = \frac{\pi}{2}\,A\,L\,r^{4}.

Passo 3

Para r>R, toda a carga interna ao cilindro de raio R fica enclausurada no nosso cilindro Gaussiano. Logo
Q_{\text{enc}} = Q(r=R) = \frac{\pi}{2}\,A\,L\,R^{4}.
Pela Lei de Gauss, a integral de fluxo é
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\,(2\pi\,r\,L) = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}.
Isolando E(r):
E(r)\;=\;\frac{Q_{\text{enc}}}{2\pi\,\varepsilon_{0}\,L\,r} =\frac{\tfrac{\pi}{2}A\,L\,R^{4}}{2\pi\,\varepsilon_{0}\,L\,r} =\frac{A\,R^{4}}{4\,\varepsilon_{0}\,r}.
O campo é radial, apontando para fora do eixo.

Resposta

a) Q(r<R)=\displaystyle\frac{\pi}{2}\,A\,L\,r^{4}.
b) \displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{A\,R^{4}}{4\,\varepsilon_{0}\,r}\,\hat{r}, para r>R.

Exercícios relacionados