Um cilindro maciço, infinitamente longo, não condutor, tem uma distribuição volumétrica de carga radial e não uniforme dada por
, determine:
a) A carga contida num cilindro de raio
;
b) A expressão para o campo elétrico para a região
, onde
é a distância ao eixo da distribuição.
a) A carga contida num cilindro de raio
b) A expressão para o campo elétrico para a região
Passo 1
O enunciado diz que temos um cilindro maciço, infinito e não condutor, com densidade de carga radial não uniforme
. Precisamos encontrar:
a) a carga total contida em um cilindro de raio ;
b) o campo elétrico para a região externa, .
Como o problema é de simetria cilíndrica e o cilindro é infinito, vamos usar a Lei de Gauss e integrar a densidade para achar a carga.
a) a carga total contida em um cilindro de raio
b) o campo elétrico para a região externa,
Como o problema é de simetria cilíndrica e o cilindro é infinito, vamos usar a Lei de Gauss e integrar a densidade para achar a carga.
Passo 2
Para achar a carga contida até um raio genérico
, considere um trecho de comprimento
do cilindro. O volume de um casquete cilíndrico de espessura
é
A densidade de carga é
, então a carga elementar é
Integrando de
até
, obtemos
Passo 3
Para
, toda a carga interna ao cilindro de raio
fica enclausurada no nosso cilindro Gaussiano. Logo
Pela Lei de Gauss, a integral de fluxo é
Isolando
:
O campo é radial, apontando para fora do eixo.
Resposta
a)
b) , para
.
b)