Uma esfera maciça não condutora possui uma distribuição volumétrica de carga dada por
, onde a é uma constante positiva e
é o raio da esfera. Determine:
a) A carga líquida contida na região
;
b) A expressão para o campo elétrico para a região
.
a) A carga líquida contida na região
b) A expressão para o campo elétrico para a região
Passo 1
O enunciado dá uma esfera não condutora de raio
com densidade volumétrica de carga
onde
é constante positiva. Precisamos calcular:
a) a carga total para ;
b) o campo elétrico para .
Vamos usar integração em coordenadas esféricas para obter a carga interna e, em seguida, a Lei de Gauss para o campo externo.
a) a carga total para
b) o campo elétrico para
Vamos usar integração em coordenadas esféricas para obter a carga interna e, em seguida, a Lei de Gauss para o campo externo.
Passo 2
A carga total contida em
é
Em coordenadas esféricas
, logo
Passo 3
Para calcular
fazemos a substituição
, de modo que
e
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
Passo 4
Agora integramos por partes
Avaliando de
a
obtém-se
Logo
Passo 5
Substituindo em
vem
Passo 6
Para
toda a carga da esfera pode ser encarada como concentrada no centro. Pela Lei de Gauss,
de onde
O vetor campo fica
, apontando radialmente para fora.
Resposta
a)
b) para
.
b)