Uma esfera maciça não condutora possui uma distribuição volumétrica de carga dada por \rho(r)= \left(\frac{a}{r}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{\pi r}{2 R}\right), onde a é uma constante positiva e R é o raio da esfera. Determine:
a) A carga líquida contida na região \mathbf{r}<\mathbf{R};
b) A expressão para o campo elétrico para a região r>R.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera não condutora de raio R com densidade volumétrica de carga
\rho(r)=\frac{a}{r}\sin\!\biggl(\frac{\pi r}{2R}\biggr),
onde a é constante positiva. Precisamos calcular:
a) a carga total para r<R;
b) o campo elétrico para r>R.
Vamos usar integração em coordenadas esféricas para obter a carga interna e, em seguida, a Lei de Gauss para o campo externo.

Passo 2

A carga total contida em r<R é
Q_{\text{int}}=\int_{V_{r<R}}\rho(r)\,dV.
Em coordenadas esféricas dV=4\pi r^2\,dr, logo
Q_{\text{int}}=4\pi\int_{0}^{R}\frac{a}{r}\sin\!\biggl(\frac{\pi r}{2R}\biggr)\,r^2\,dr =4\pi a\int_{0}^{R}r\,\sin\!\biggl(\frac{\pi r}{2R}\biggr)\,dr.

Passo 3

Para calcular
I=\int_{0}^{R}r\,\sin\!\biggl(\frac{\pi r}{2R}\biggr)\,dr
fazemos a substituição \displaystyle u=\frac{\pi r}{2R}, de modo que r=\frac{2R}{\pi}u e dr=\frac{2R}{\pi}\,du. Quando r vai de 0 a R, u vai de 0 a \tfrac{\pi}{2}. Assim
I=\int_{0}^{\pi/2}\frac{2R}{\pi}u\;\sin(u)\;\frac{2R}{\pi}\,du =\frac{4R^2}{\pi^2}\int_{0}^{\pi/2}u\sin(u)\,du.

Passo 4

Agora integramos por partes
\int u\sin(u)\,du=-u\cos(u)+\int\cos(u)\,du=-u\cos(u)+\sin(u).
Avaliando de 0 a \pi/2 obtém-se
\bigl[-u\cos(u)+\sin(u)\bigr]_{0}^{\pi/2} =\bigl[\,0+1\bigr]-\bigl[\,0+0\bigr]=1.
Logo
I=\frac{4R^2}{\pi^2}\times1=\frac{4R^2}{\pi^2}.

Passo 5

Substituindo em Q_{\text{int}} vem
Q_{\text{int}}=4\pi a\,I =4\pi a\;\frac{4R^2}{\pi^2} =\frac{16aR^2}{\pi}.

Passo 6

Para r>R toda a carga da esfera pode ser encarada como concentrada no centro. Pela Lei de Gauss,
\oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(4\pi r^2)=\frac{16aR^2}{\pi\varepsilon_{0}},
de onde
E(r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{16aR^2}{\pi}\;\frac{1}{r^2} =\frac{4aR^2}{\pi^2\varepsilon_{0}}\;\frac{1}{r^2}.
O vetor campo fica \displaystyle \mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat r, apontando radialmente para fora.

Resposta

a) \displaystyle Q_{\text{int}}=\frac{16aR^2}{\pi}.
b) \displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{4aR^2}{\pi^2\varepsilon_{0}}\;\frac{1}{r^2}\,\hat r para r>R.

Exercícios relacionados