Considere uma esfera isolante, maciça, de raio
, com uma densidade de carga variável
. Achar a carga contida numa esfera de raio
quando:
a)
;
b)
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado fala de uma esfera isolante, maciça, de raio
, com densidade de carga volumétrica
, onde
é a distância ao centro. Queremos a carga total dentro de uma esfera de raio
, em dois casos: (a)
e (b)
. O conteúdo é aplicação de integração de densidade volumétrica em coordenadas esféricas, usando o elemento de volume
.
Passo 2
Para calcular a carga em função de
(quando
), montamos a integral
Passo 3
Resolvendo a integral
Logo, para
temos
Passo 4
Para
, toda a carga da esfera de raio
já está contida, e não há mais carga além de
. Assim, a carga total da esfera é
Passo 5
Concluímos que para
a carga contida não cresce mais e vale sempre
Resposta
a) Para
:
b) Para :
b) Para