Considere uma esfera isolante, maciça, de raio \boldsymbol{b}, com uma densidade de carga variável \rho=C . r. Achar a carga contida numa esfera de raio r quando:
a) \boldsymbol{r}<\boldsymbol{b};
b) \boldsymbol{r}>\boldsymbol{b}.

Passo 1

O enunciado fala de uma esfera isolante, maciça, de raio b, com densidade de carga volumétrica \rho = C\,r, onde r é a distância ao centro. Queremos a carga total dentro de uma esfera de raio r, em dois casos: (a) r<b e (b) r>b. O conteúdo é aplicação de integração de densidade volumétrica em coordenadas esféricas, usando o elemento de volume dV=4\pi r^2dr.

Passo 2

Para calcular a carga em função de r (quando r<b), montamos a integral
Q(r)=\int_{V(r)}\rho\,dV =\int_{0}^{r} \bigl(C\,r'\bigr)\,4\pi\,r'^2\,dr' =4\pi C\int_{0}^{r}r'^3\,dr'.

Passo 3

Resolvendo a integral
4\pi C\int_{0}^{r}r'^3\,dr' =4\pi C\left[\frac{r'^4}{4}\right]_{0}^{r} =\pi C\,r^4.
Logo, para r<b temos
Q(r)=\pi C\,r^4.

Passo 4

Para r>b, toda a carga da esfera de raio b já está contida, e não há mais carga além de r=b. Assim, a carga total da esfera é
Q_{\text{total}}=Q(b)=\pi C\,b^4.

Passo 5

Concluímos que para r>b a carga contida não cresce mais e vale sempre
Q(r)=\pi C\,b^4.

Resposta

a) Para r<b: \displaystyle Q(r)=\pi C\,r^4.
b) Para r>b: \displaystyle Q(r)=\pi C\,b^4.

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