Um cilindro maciço infinitamente longo de raio r=9 \mathrm{~cm} e com densidade de carga por unidade de volume \rho=6,4 \times 10^{-8} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3} está centrado no eixo y. Determine a intensidade do campo elétrico a uma distância radial r do centro do cilindro para:
b) (1,0 ponto ) r=12 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro maciço infinitamente longo de raio r_{0}=9\,\text{cm} e densidade volumétrica de carga \rho=6{,}4\times10^{-8}\,\mathrm{C/m^{3}}. Pede-se a intensidade do campo elétrico a uma distância radial r=12\,\text{cm} do eixo. O conteúdo principal aqui é a aplicação da Lei de Gauss em simetria cilíndrica.

Passo 2

Para r>r_{0} o campo é radial e a superfície de Gauss apropriada é um cilindro de raio r e comprimento L. O fluxo elétrico através dessa superfície vale\r
\Phi = E\,(2\pi rL)\,,\r
pois E é constante e perpendicular à superfície lateral do cilindro.

Passo 3

A carga envolvida por essa superfície é a carga total do cilindro de raio r_{0} e mesmo comprimento L:\r
Q_{\rm int} = \rho \times (\text{volume}) = \rho\,\pi r_{0}^{2}L\,.\r
Pela Lei de Gauss,\r
\Phi = \frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E\,(2\pi rL) = \frac{\rho\,\pi r_{0}^{2}L}{\varepsilon_{0}}\,.

Passo 4

Isolando E na equação acima, cancelando \pi e L,\r
E = \frac{\rho\,\pi r_{0}^{2}L}{2\pi rL\,\varepsilon_{0}} = \frac{\rho\,r_{0}^{2}}{2\,\varepsilon_{0}\,r}\,.

Passo 5

Agora basta substituir os valores em unidades SI:\r
\rho = 6{,}4\times10^{-8}\,\mathrm{C/m^{3}},\quad r_{0}=0{,}09\,\mathrm{m},\quad r=0{,}12\,\mathrm{m},\quad \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}.
E = \frac{6{,}4\times10^{-8}\,(0{,}09)^{2}}{2\,(8{,}854\times10^{-12})\,(0{,}12)} \approx 2{,}44\times10^{2}\,\mathrm{V/m}.

Resposta

E(0{,}12\,\mathrm{m})\approx 2{,}44\times10^{2}\,\mathrm{V/m}.

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